餘弦定理

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一個三角形

餘弦定理是三角形中三邊長度與一個角的餘弦值（cos）的數學式，參考右圖，餘弦定理指的是：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,$

同理，也可以將其改為：

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos(\beta)\,$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)\,$

其中 $c$ 是 $γ$ 角的對邊，而 $a$ 和 $b$ 是 $γ$ 角的鄰邊。

勾股定理則是餘弦定理的特殊情況，當 $γ$ 為 $90^\circ$ 時， $cos(γ) = 0$ ，式子可被簡化為

c 2 = a 2 + b 2

當知道一三角形的兩邊和一角時，餘弦定理可被用來計算第三邊的長，或是當知道三邊的長度時，可用來求出任何一個角。

[编辑] 歷史

一個鈍三角形和他的高Base Height

餘弦定理的歷史可追溯至西元三世紀前歐幾里德的幾何原本，在書中將三角形分為鈍角和銳角來解釋，這同時對應現代數學中餘弦值的正負。根據幾何原本第二本的公設12和13^[1]，並參考右圖，以現代的數學式表示即為：

$\overline{AB}^2 = \overline{CA}^2 + \overline{CB}^2 + 2(\overline{CA})(\overline{CH})\,$

其中 $\overline{CH} = \overline{BC}\cos(\pi - \gamma) = -\overline{BC}\cos(\gamma)$ ，將其帶入上式得到：

$\overline{AB}^2 = \overline{CA}^2 + \overline{CB}^2 - 2(\overline{CA})(\overline{BC})\cos(\gamma)\,$

[编辑] 证明

[编辑] 三角函數

具有垂直線的銳角三角形

見右圖，在c上做高可以得到：

$c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,$

將等式同乘以c得到：

$c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,$

運用同樣的方式可以得到：

$a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,$

$b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,$

將兩式相加：

$a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\, + bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,$

$a^2 + b^2 = \left[ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\right] + \left[ab\cos(\gamma)\, + ab\cos(\gamma)\right]\,$

$a^2 + b^2 = c^2 + 2ab\cos(\gamma)\,$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,$

[编辑] 勾股定理

设 $\triangle ABC$ 中， $\overline{AB}=c$ ， $\overline{BC}=a$ ， $\overline{AC}=b$ 。过 $B$ 点作 $A C$ 的垂线，垂足为 $D$ ，如果 $D$ 在 $A C$ 内部，则 $B D$ 的长度为 $a sin C$ ， $D C$ 的长度为 $a cos C$ ， $A D$ 的长度为 $b - a cos C$ 。根据勾股定理：