正切定理

平面三角形

三角学
历史 三角函数 广义三角函数 反三角函数
参考
恒等式 精确值 三角表
定理
正弦定理 余弦定理 正切定理 余切定理 勾股定理
微积分
三角换元法 三角函数的积分 三角函数的微分 反三角函数的积分

正切定理是三角学中的一个定理。

在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即：

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}$

$\frac{b-c}{b+c}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\beta -\gamma }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\beta +\gamma }{2}}$

$\frac{c-a}{c+a}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma -\alpha }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma +\alpha }{2}}$

法兰西斯·韦达(François Viète)曾在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中提出正切定理。現代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。不过在沒有计算机的辅助求解三角形時，这定理可比余弦定理更容易利用对数來运算投影等问题。

证明

由$\frac{a+b}{a-b}$开始，由正弦定理得出

$\begin{align} \frac{a+b}{a-b} &= \frac{a\frac{\sin \alpha}{a} + b\frac{\sin \beta}{b}}{a\frac{\sin \alpha}{a} - b\frac{\sin \beta}{b}} \\ &= \frac{\sin(\alpha) + \sin(\beta)}{\sin(\alpha) - \sin(\beta)} \\ &= \frac{2\sin[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)] \cos[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{2\cos[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)] \sin[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}\end{align}$

(参阅三角恒等式)

$\begin{align}\frac{a+b}{a-b} &= \frac{\sin[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)] \cos[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\cos[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)] \sin[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]} \\ &= \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}\end{align}$

参见

• 正切
• 畢氏定理
• 三角学
• 三角函数
• 三角恒等式
• 正弦定理
• 余弦定理