三角形

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三角形
Triangle illustration.svg
三角形
3
頂點 3
施萊夫利符號 {3} (正三角形時)
面積 various methods;
見下文
內角 60° (正三角形時)

三角形是由三条线段顺次首尾相连,组成的一个闭合的平面图形是最基本的多邊形

Trikotnik.png

一般用大写英语字母ABC,为顶点标号。用小写英语字母abc表示边;\alpha\beta\gamma或者顶点标号表示角。

基本概念[编辑]

  • 中线:三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。
  • 高线:从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
  • 角平分线:平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
  • 中垂线:通過三角形一边中点与該边所垂直的线段,又稱垂直平分線。

性质[编辑]

定理[编辑]

  • 三角不等式
    • 三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等,则是退化三角形。
    • 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。


三角形の内角と外角.png

角度[编辑]

三角形兩內角之和,等於第三角的外角。

在歐幾里德平面內,三角形的內角和等於180°。

分类[编辑]

鈍角三角形.png
不等辺三角形.png

锐角、钝角三角形(斜三角形)[编辑]

鈍角三角形是其中一角為鈍角(大於90°)的三角形,其余兩角均小於90°。

銳角三角形的所有內角均為銳角(小於90°)。

直角三角形[编辑]

Right triangle.png 有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形。 成直角的两条边称为直角边cathetus),直角所对的边是斜边hypotenuse);或最長的邊稱為,底部的一邊稱作(又作),另一邊稱為

可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得锐角三角函數

等边三角形[编辑]

Triangle.Equilateral.svg

等邊三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是a,则其面積公式為\frac{a^2\sqrt3}{4}

等邊三角形是正四面體正八面體正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形

等腰三角形[编辑]

Triangle.Isosceles.svg

等腰三角形是三条中有两条边相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为,而另一条边被称为底边,两条腰交叉组成的那个点被称为顶点,它们组成的角被称为顶角。 等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。

等腰三角形的底的垂直平分線,剛好又是對應角的角平分線。

等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式。

等腰直角三角形只有一種形狀,其中兩个角為45度。

退化三角形[编辑]

退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

特性[编辑]

三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形

  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等。
  • RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊):在直角三角形中,斜邊及另外一條直角邊對應地相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

必须注意的是,AAA(Angle-Angle-Angle、角、角、角)只能保证两个三角形相似,不能保證全等。SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)也不能保证两个三角形全等。

面積[编辑]

已知兩邊及其夾角[编辑]

設a、b為所知的兩邊,C為該夾角,三角形面積S=\frac{1}{2}ab\sin{C}

已知三邊長[编辑]

希羅公式(又称海伦公式): 设p等于三角形三边和的一半:

p=\frac{a+b+c}{2}

S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}

化简後就是:

S = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}

秦九韶亦求過類似的公式,稱為三斜求積法

S = \sqrt{\frac{1}{4} {(c^2a^2-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}}

也有用幂和来表示的公式:

S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}

也有用Cayley–Menger行列式表示的公式:

16 \cdot S^2 =-
\begin{vmatrix}
  0 & a^2 & b^2 & 1\\
  a^2 & 0 & c^2 & 1\\
  b^2 & c^2 & 0 & 1\\
  1 & 1 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}

基於希羅公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定,有一個變化的計法。設a ≥ b ≥ c,三角形面積為\frac{1}{4} \sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}

坐标系中已知三顶点坐标[编辑]

(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)三个顶点构成的三角形,其面积是下式的绝对值:

\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} 。证明:无论三角形的顶点位置如何,该三角形总可以用一个直角梯形(或矩形)和两个直角三角形面积的和差来表示,而在直角坐标系中,已知直角梯形(或矩形)和直角三角形的顶点的坐标,该三角形的面积容易求出,即用上述的行列式表示。

任三角形外心和內心半徑算面積法[编辑]

假設已知三角形面積為Δ,三邊邊長分別為a.b.c,s為三角形周長(a+b+c)內心半徑(r):

\Delta=\frac{1}{2}sr

外心半徑(R):

\Delta=\frac{abc}{4R}

半角定理[编辑]

在三角形  ABC\,中, 三个角的半角的正切和三边有如下关系:


\begin{align}
\tan{\frac{A}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{b+c-a} \\

\tan{\frac{B}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+c-b} \\

\tan{\frac{C}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+b-c} \\
\end{align}

证明:

 \tan\frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}

因为: \sin \frac{A}{2}>0

 \tan \frac{A}{2}>0

所以: \sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

=\sqrt{ \frac{a^2+{\left(b-c\right)}^2 }{4ac}}
=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4ac}}

而: \cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

=\sqrt{ \frac{{\left(b-c\right)}^2-a^2 }{4ac}}
=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4ac}}

所以: 
\begin{align}
\tan\frac{A}{2}&=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}\\
&=\frac{\sqrt{\cfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{4ac}}}{\sqrt{\cfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{4ac}}}\\
&=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}
\end{align}


即: \tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

同理可得

 \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}
 \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}


用三角形的三边表示其角平分线长度[编辑]

设在三角形  ABC\,中,已知三边  a \,  b \,  c \,,若三个角  A \,,  B\,  C\,的角平分线分别为  t_a\,  t_b\,  t_c\,, 则用三边表示三条内角平分线长度公式为

  t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}
  t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}
  t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}

其他三角形有关的定理[编辑]

三角形的五心[编辑]

名称 定义 图示 备注
內心 三个內角的角平分线的交點 三角形の内心.png 三角形內切圓的圓心
外心 三條邊的垂直平分線的交點 三角形の外心.png 三角形外接圓的圓心
垂心 三条高的交點 三角形の垂心.png  
形心(重心) 三条中线的交點 三角形の重心.png 被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)
旁心 外角的角平分线的交點 三角形の傍心.png 有三个,为三角形某一边上的旁切圆圆心

Triangle.EulerLine.svg垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能連成一線,稱為歐拉線

关于三角形的五心,有这样的一首诗:內心全靠角平分,外心中點垂線伸,垂心垂直畫三高,形心角連線中心。

外接圆和内切圆半径[编辑]

 R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}

 r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2\left(a+b+c \right)}

參看[编辑]