三角形

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三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形，是最基本的多邊形。

一般用大写英语字母 $A$ 、 $B$ 和 $C$ ，为顶点标号。用小写英语字母 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 表示边； $α$ 、 $β$ 和 $γ$ 或者顶点标号表示角。

[编辑] 基本概念

中线：三角形一边中点与这边所对定点的连线段。
高线：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
角平分线：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
中垂线：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱垂直平分線。

[编辑] 性质

[编辑] 定理

三角不等式：
- 三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。
- 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

勾股定理（又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理）及其勾股逆定理：
- 设直角三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c，则 $a 2 + b 2 = c 2$ 當角C=90°。

正弦定理（R为三角形外接圆半径）：
- $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=2R$

餘弦定理：
- $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos (\alpha)$
- $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos (\beta)$
- $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos (\gamma)$

[编辑] 角度

三角形兩隻內角之和，等於剩下的一隻的外角。

在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

[编辑] 分类

[编辑] 锐角、钝角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其余兩角均小於90°。

銳角三角形的所有內角均為銳角（小於90°）。

[编辑] 直角三角形

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为直角边（cathetus），直角所对的边是斜边（hypotenuse）；或最長的邊稱為弦，底部的一邊稱作勾（又作句），另一邊稱為股。

可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得锐角三角函數。

[编辑] 等边三角形

等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是a，则其面積公式為 $\frac{\sqrt 3}{4}a^2$ 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

[编辑] 等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为腰，而另一条边被称为底边，两条腰交叉组成的那个点被称为顶点，它们组成的角被称为顶角。等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。

等腰三角形的底的垂直平分線，剛好又是對應角的角平分線。

等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式。

等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩个角為45度。

[编辑] 退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为 (180°,0°,0°) 或 (90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

[编辑] 特性

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。

SSS（Side-Side-Side、邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
SAS（Side-Angle-Side、邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
ASA（Angle-Side-Angle、角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
RHS：在直角三角形中，斜邊及另外一條直角邊對應地相等。
AAS（Angle-Angle-Side、角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

必须注意的是，AAA（Angle-Angle-Angle、角、角、角）只能保证两个三角形相似，不能保證全等。SSA（Angle-Angle-Side、角、角、邊）也不能保证两个三角形全等。

[编辑] 面積

[编辑] 已知兩邊及其夾角

設a、b為所知的兩邊，C為該夾角，三角形面積 $S=\frac{1}{2}ab\sin{C}$ 。

[编辑] 已知底和高

$S=\frac{1}{2}bh$ ，即底×高÷2。因為兩個相同的三角形疊合可成平行四邊形。

[编辑] 已知三邊長

希羅公式（又称海伦公式）：设p等于三角形三边和的一半：

$p=\frac{a+b+c}{2}$

则

$S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

化简後就是：

$S = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}$

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

$\sqrt{\frac{1}{4} {(c^2a^2-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}}$

基於希羅公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設a ≥ b ≥ c，三角形面積為 $\frac{1}{4} \sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}$

[编辑] 在坐标系中已知三顶点坐标

由 $(x 1, y 1),(x 2, y 2),(x 3, y 3)$ 三个顶点构成的三角形，其面积为：

$\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}$

[编辑] 任三角形外心和內心半徑算面積法

假設已知三角形面積為x，三邊邊長分別為a.b.c，s為三角形周長（a+b+c）內心半徑（r）：

$x=\frac{1}{2}sr$

外心半徑（R）：

$x=\frac{abc}{4R}$

[编辑] 半角定理

在三角形 $ABC\,$ 中，三个角的正切和三边有如下关系：

$\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}$

$\tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}$

$\tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}$

证明：

$\tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

因为: $\sin \frac{A}{2}>0$

$\cos \frac{A}{2}>0$

所以: $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}$

$=\sqrt{ \frac{a^2+{\left(b-c\right)}^2 }{4ac}}$

$=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4ac}}$

而: $\cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}$

$=\sqrt{ \frac{{\left(b-c\right)}^2-a^2 }{4ac}}$

$=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4ac}}$

所以: $\tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4ac}}}{\sqrt{\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4ac}}}=\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right) }}$

即: $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}$

同理可得

$\tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}$

$\tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}$

[编辑] 用三角形的三边表示其角平分线长度

设在三角形 $ABC\,$ 中，已知三边 $a \,$ ， $b \,$ ， $c \,$ ，若三个角 $A \,$ ,

$B\,$ ， $C\,$ 的角平分线分别为 $t_a\,$ ， $t_b\,$ ，

$t_c\,$ ，则用三边表示三条内角平分线长度公式为

$t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)bc}$

$t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+c-b \right)ac}$

$t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}$

[编辑] 其他三角形有关的定理

[编辑] 三角形的五心

名称	定义	备注
內心	三个內角的角平分线的交點	三角形內切圓的圓心
外心	三條邊的垂直平分線的交點	三角形外接圓的圓心
垂心	三条高的交點
形心(重心)	三条中线的交點	被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）
旁心	外角的角平分线的交點	有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，稱為歐拉線。

[编辑] 外接圆和内切圆半径

$R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}$

$r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2\left(a+b+c \right)}$

[编辑] 參看

多边形
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