施莱夫利符号

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數學中,施萊夫利符號(Schläfli symbol)是一個可以表示一特定正多胞形密鋪圖案若干重要特性的符號。其命名是為了紀念19世紀數學家路德維希·施萊夫利幾何和其他領域的許多重要貢獻。

另見正多胞形列表

正多邊形[编辑]

一個有n個邊的多邊形,其施萊夫利符號為\{n\}。例如,施萊夫利符號為\{5\}的多邊形即為五邊形

星形多邊形[编辑]

星形多邊形(Star polygon)指的是正非凸多邊形,即邊長相等的凹多邊形或複雜多邊形。星形多邊形的施萊夫利符號若為{p/q},表示此一星形多邊形有p個角,每一個角都和次q的角相連。因此\{^{5}/_{2}\}即代表的是五芒星

星芒形[编辑]

pq不互質時,此時的星形多邊形即稱為星芒形(star figure)。若pq的最大公因數為n,此一星芒形即是由n\{^{^p/_n}/_{^q/_n}\}相互旋繞而成。例如,\{^6/_2\},即六角星,便是由兩個三角形\{^3/_1\}所組成的,而\{^{10}/_4\}則是由兩個五角星所組成。

正多面體[编辑]

正多面體的施萊夫利符號計做{p,q},其中p代表每個的边数,而q代表顶点图的边数,即每个顶点连接多少条棱。
各種正多面體的施萊夫利符號如下:

  1. 正四面體: {3,3}
  2. 立方體: {4,3}
  3. 正八面體: {3,4}
  4. 正十二面體: {5,3}
  5. 正二十面體: {3,5}

四维及以上正多胞形[编辑]

高维空间多胞形的施莱夫利符号可以通过类比得出,一个n维正多胞形的施莱夫利符号包含n-1个数字。

四维正多胞体[编辑]

四维正多胞体的施莱夫利符号记做{p,q,r},其中{p}为二维面,{p,q}为胞,{q,r}为顶点图,{r}为棱图。 四维凸正多胞体共有6种,另有一个三维空间欧氏正堆砌(honeycomb),它们的施莱夫利符号如下:

  1. 正五胞體: {3,3,3}
  2. 超正方體: {4,3,3}
  3. 正十六胞體: {3,3,4}
  4. 正二十四胞體: {3,4,3}
  5. 正一百二十胞體: {5,3,3}
  6. 正六百胞體: {3,3,5}
  7. 立方体堆砌: {4,3,4}

五维及以上正多胞形[编辑]

在五维及以上空间中只存在三种凸正多胞形,并且六维以后只有一种欧氏正堆砌,其中单纯形的施莱夫利符号为{3,3,...,3,3}(共n-1个3),超方形的施莱夫利符号为{4,3,3,...,3}(共n-2个3),正轴形的施莱夫利符号为{3,3,...,3,4}(共n-2个3),超立方体堆砌的施莱夫利符号为: {4,3,...,3,4}(中间共n-3个3)。 此外,存在两个五维欧氏正堆砌,分别是正十六胞体堆砌:{3,3,4,3}和正二十四胞体堆砌:{3,4,3,3}。

參考文獻[编辑]

  • Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50.(Extended Schläfli notation used)

外部連結[编辑]