正二十四胞体

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正二十四胞体
(16-胞)
4-体
Schlegel wireframe 24-cell.png
類型 四维凸正多胞体
家族 没有很好的其它维度类比
24 (3.4.3) Octahedron.png
96 {3} 2-simplex t0.svg
96
頂點 24
顶点图 24 cell verf.png
(4.4.4)
施萊夫利符號 {3,4,3}
考克斯特圖

CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
對偶多胞體 自身對偶
特性 convex, isogonal, isotoxal, isohedral

几何学上,正二十四胞体(Icositetrachoron)(也有时被叫做复正八面体、正八面复立方体)是六个四维凸正多胞体之一,施莱夫利符号是{3,4,3}。正二十四胞体拥有许多独一无二的性质——它是唯一的既不是正单纯形也不是正多边形的自身对偶多胞形,也是唯一没有好的3维类比的四维凸正多胞体。但它存在一个二维类比——正六边形

几何[编辑]

正二十四胞体由24个正八面体胞组成,于每顶点有八个相接。正二十四胞体共有96个三角形面、96条边,24个顶点,其顶点形立方体。正二十四胞体是自对偶。对于边长为a的正二十四胞体,其超体积是2a4,表体积是8√2a3

若一个正二十四胞体的棱长为1,则其外接超球的半径为1,其外中交超球(经过正二十四胞体每条棱的中点的三维超球)半径为\frac{\sqrt{3}}{2} \approx0.866025403,其内中交超球(经过正二十四胞体每个面的中心)半径为\frac{\sqrt{6}}{3} \approx0.81649658,其内切超球半径为\frac{\sqrt{2}}{2} \approx0.707106781

构造法[编辑]

以下顶点构成中心于原点,边长为1的正二十四胞体:

8个由以下坐标的所有不同排列得出

(±1, 0, 0, 0),

另外16个则有形式

(±½, ±½, ±½, ±½)。

首8顶点构成正十六胞体,另外16个则是其对偶超正方体。(3维空间的类似构造得出的并非正多面体,而是菱形十二面体。)其余16点按负号数目的奇偶再分成两组,则此三组每组都构成正十六胞体,其对偶超正方体是其余的顶点构成。

与上面的正十二胞体对偶的正二十四胞体是以下坐标的所有不同排列

(±1, ±1, 0, 0),

边长为√2,外接于半径√2的3-球面。实际上,这个正二十四胞体是作为截半正十六胞体存在的。正十六胞体的顶点图是正八面体,意味着截去正十六胞体的顶点会出现正八面体胞,而在棱长中点出截去正十六胞体的正四面体胞的角(“截半”)也会出现正八面体胞,总共16+8=24个正八面体胞。

镶嵌[编辑]

二十四胞体可以镶嵌4维歐幾里得空間。这个镶嵌的施莱夫利符号是{3,4,3,3}。对偶镶嵌{3,3,4,3}由正十六胞体组成。连同超正方体镶嵌{4,3,3,4},R4的所有正则镶嵌就是这三个。

对称性、根系和密铺[编辑]

考克斯特F4群平面下的投影,展现了正二十四胞体(红点)和它的对偶(黄点)。

如果把正二十四胞体的24个顶点看作位置向量的话,它们能构成一个简单李群D4,这二十四个顶点处于3个互相平行的超平面之上,2对6个顶点分别处于外侧的两个超平面上,构成两个正八面体(就是两个胞),其余12个顶点处于中间的超平面之上,构成截半立方体。而这24个顶点又可拆分成超立方体的16个顶点和正十六胞体的8个顶点,应此作为截半正十六胞体和双棱锥正二十四胞体(截半正十六胞体的对偶),正二十四胞体也具有BC4对称性。正二十四胞体和它的对偶正二十四胞体的共48个顶点(的位置向量)构成了F4对称群,它包含了两个D4对称群,大小是后者的√2倍。正二十四胞体的全部对称性构成了外尔群F4,由与F4的根正交的超平面反射构成,它是一个群为1152的旋转反射群。正二十四胞体的纯旋转群群阶为576。如果把正二十四胞体的顶点看作是四元数,由于单位四元数乘除等同于旋转,能够构造出一个等同于只有旋转的外尔群F4乘法群。其它正多胞形,如正十六胞体和正六百胞体也有该性质。

四元数解释[编辑]

当我们用四元数来解释时,F4根格(即正二十四胞体所有顶点的完整共轭)在乘法下封闭,这意味着其形成了一个。这是一个哈维兹整四元数英语Hurwitz quaternion构成的环。正二十四胞体的顶点形成了哈维兹四元数环(这一群也被叫做二元四面体群英语binary tetrahedral group)中的单位群(由可逆元组成的群)。正二十四胞体的24个顶点恰好就是24个范数为1的哈维兹四元数,而其对偶的24个顶点则是24个范数为√2的哈维兹四元数。D4根格是F4对偶,其是哈维兹四元数有着偶数范数平方的子环。

其它四维凸正多胞体的顶点也能形成可乘的四元数群,但它们都不能形成根格。

可视化[编辑]

中心投影 线架投影 球极投影 正二十四胞体
穿越三维空间
24cell-perspective-cell-first-01.png 24-cell t0 F4.svg Stereographic polytope 24cell faces.png 24cell section anim.gif
旋转着的
中心投影
24-cell.gif
二维正交线架投影
考克斯特平面 F4
图像 24-cell t0 F4.svg
二面体群 [12]
考克斯特平面 B3 / A2 (a) B3 / A2 (b)
图像 24-cell t0 B3.svg 24-cell t3 B3.svg
二面体群 [6] [6]
考克斯特平面 B4 B2 / A2
图像 24-cell t0 B4.svg 24-cell t0 B2.svg
二面体群 [8] [4]

外部链接[编辑]

四维正多胞体
正五胞体 超正方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}