正六百胞体

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正六百胞体
(600-胞)
4-体
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
類型 正多胞体
家族 正五边形形 正二十面体形
600 (3.3.3) Tetrahedron.png
1200 {3} 2-simplex t0.svg
720
頂點 120
顶点图 600-cell verf.png
(3.3.3.3.3)
施萊夫利符號 {3,3,5}
考克斯特圖 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
對稱群 H4, [3,3,5]
對偶多胞體 正一百二十胞体
特性 convex, isogonal, isotoxal, isohedral
二维线架正投射

几何学中,正六百胞体(Hexacosichoron)四维凸正多胞体施莱夫利符号是{3,3,5},有時候会视为正二十面体的四维类比。

正六百胞体的边界有600个正四面体胞、1200个正三角形面、720条边和120个顶点。每一顶点有20个正四面体相接。

几何性质[编辑]

正六百胞体的对偶多胞体正一百二十胞体。 正六百胞体的顶点形正二十面体
边长为a的正六百胞体超体积为\frac{50+25\sqrt{5}}{4}a^4,表体积为50√2a3

以原点为中心,边长为 1/φ 的正六百胞体(其中φ = (1+√5)/2是黃金比例),頂点坐标如下:16个顶点形式如下

(±½,±½,±½,±½),

8个顶点从下列坐标不同排列得出

(0,0,0,±1),

剩下96个顶点是下列坐标的偶置换

½(±1,±φ,±1/φ,0)。

如果一个正六百胞体的棱长为1,则其外接超球半径为\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx1.618\end{smallmatrix}黄金分割比;其外中交超球(经过正六百胞体每条棱的中点)半径为\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+5}}{2} \approx1.538\end{smallmatrix} ;其内中交超球(经过正六百胞体每个面的中心)半径为\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{6} \approx1.512\end{smallmatrix} ;其内切超球半径为\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{4} \approx1.498\end{smallmatrix}

注意到首16个顶点构成超正方体,次8个构成正十六胞体。这24个顶点一起构成正二十四胞体,事实上,如果移除这24个顶点,就会得到另一个有意思的半正多胞体扭棱正二十四胞体(Snub Icositetrachoron)。

对称群构造[编辑]

如果把坐标看作四元数,正六百胞体的120个顶点以四元数乘法组成。这个群通常称为双二十面体群,因為它是二十面体群I的双重覆蓋。这个双十二面体群也可被看作是正六百胞体的旋转(无反射)对称群,因为单位四元数的乘法等同于点的旋转,也因此双十二面体群是H4群的一个子群。双二十面体群同构特殊线性群SL(2,5)。

正六百胞体的对称群H4外尔群,这个群的阶是14400。

可视化[编辑]

正六百胞体的胞众多,并且这些正四面体胞基本上没有什么规律可循,为正六百胞体的可视化带来了许多困难,但作为正一百二十胞体对偶,许多正一百二十胞体的性质也表现在正六百胞体上。

大圆结构[编辑]

正一百二十胞体的10个会首尾相连,构成“大圆”,这些胞与正六百胞体的顶点对偶,它们也会互相连接形成一个正十边形,这正十边形的每一条边周围都有5个正四面体共这条边,这种结构看上去就像有棱有角的飞盘。正十边形相邻的两条棱周围的两簇正四面体中间会有空隙,我们可以在填入10个正四面体使其构成正二十面体,这样你就会得到一个涉及150个胞、10条棱、100个裸露的正三角形面的环形结构,我们还可以在向这些面上填上正四面体,会得到一个涉及250个胞的有50个突出的顶点和100条凹陷的棱的大圆,它与另一条与之正交的250胞环在顶点处咬合,剩余的棱的空隙是剩余的100个胞。现在,如果我们去掉这两条大圆最初的10个顶点,我们就会得到四维唯一的非Wythoff凸半正多胞体——重反棱柱,原来的大圆处留下了各10个正五反棱柱,并剩下了300个正四面体胞。

参考[编辑]

四维正多胞体
正五胞体 超正方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}