正方形

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正方形
Regular polygon 4 annotated.svg
一個正四邊形
類型 正多邊形
4
頂點 4
對角線 2
施萊夫利符號 {4}
t{2}
考克斯特圖 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
對稱群 二面體群 (D4), order 2×4
面積 4
4
a2cotπ
4

1a2
內角 90°
內角和 360°
對偶 正四邊形 (本身)
特性 圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形isotoxal

平面几何学中,正方形是具有四条相等的边和四个相等内角的多边形。正方形是正多边形的一种:正四边形。四个顶点为ABCD的正方形可以记为\square ABCD
正方形是二维的超方形,也是二维的正轴形

性质[编辑]

正方形是正四边形,是特殊的矩形菱形对称四边形平行四边形。其四个内角为直角。 除了四边四角相等的性质,正方形还有以下性质:

面积和周长[编辑]

正方形的面积是其边长的平方

正方形的周长是它的边长的4倍。如果边长为 a,那么周长P=4a。正方形的面积是其边长的平方。如果边长为 a,那么面积A=a^2。如果我们知道正方形的对角线长d,那么我们也可以之计算面积A=\frac{d^2}{2} ,如果正方形边心距为r,外接圆半径是R,那么A=4r^2.A=2R^2


若正方形的邊長為整數,其面積就是一個完全平方数。在周长固定时,正方形的面積一定大於其他非正方形的四邊形的面积。

对称性[编辑]

正方形是一种高度对称的平面图形,它关于两条对角线的交点中心对称(这个点又被称作正方形的中心)。它的对称轴有四条,分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种,包括全等变换,以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转,以及关于四条对称轴的反射。这八个变换组成了一个,是二面体群中的一个,记作D4

Group D8 id.svg
全等变换,四个顶点都不变
Group D8 90.svg
r1 (顺时针 90°旋转)
Group D8 180.svg
r2 ( 180°旋转)
Group D8 270.svg
r3 (顺时针 270°旋转)
Group D8 fh.svg
fv 垂直反射
Group D8 fv.svg
fh 水平反射
Group D8 f24.svg
fd 沿主对角线(左上至右下)反射
Group D8 f13.svg
fc 沿副对角线(右上至左下)反射
二面体群D4

正方形与无理数[编辑]

公元前五世纪时,毕达哥拉斯学派最早证明了正方形的对角线长度与边长长度的比例:\sqrt{2},是无法表示为两个自然数的公比的。

平面镶嵌[编辑]

用同一种多边形不重疊地将平面“铺满”,称为平面的正镶嵌图。正方形是能够组成平面的正镶嵌图的三种正多边形之一(另外两种分别是正三角形正六边形)。

参见[编辑]

另外,在十二平均律中,纯四度纯五度也都不怎么协和,因为长度比已经偏离了原来的4:3和3:2,所以只有频率比仍为1:1的纯一度和2:1的纯八度才是最协和的。(参看2的算术平方根条)