幻方

幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从$1$到$N^2$的连续整数组成，其中$N$为正方形的行或列的数目。因此$N$阶幻方有$N$行$N$列，并且所填充的数为从$1$到$N^2$。

幻方可以使用$N$阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数$M_2(N)$，如果填充数为$1,2,\dots,N^2$，那么有

$M_2(N) = \frac{N(N^2+1)}{2}$

幻方简史

洛书

在中国古典文献中记载了洛书的传说：公元前23世纪大禹治水之时，一只巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有$9$种花点的图案，分别代表$1,\dots,9$这$9$个数，而$3$行、$3$列以及两对角线上各自的数之和均为15，世人称之为洛书。中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图

杨辉纵横图

杨辉纵横图

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

构造法

根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、$4M$阶幻方和$4M+ 2$阶幻方，其中$M$为自然数，$2$阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

奇数阶幻方构造法

Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：

• 把$1$放置在第一行的中间。
• 顺序将$2,3,\dots$等数放在右上方格中。
• 当右上方格出界的时候，则由另一边进入。
• 当右上方格中已经填有数，则把数填入正下方的方格中。
• 按照以上步骤直到填写完所有$N^2$个方格。

（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）

以下图$5$阶幻方为例，$1$填写在$(1,3)$（第一行第三列）的位置上；$2$应当填写在其右上方格即$(0,4)$中，由于$(0,4)$超出顶边界，所以从最底行进入，即$(5,4)$；$3$填写在$(5,4)$的右上方格$(4,5)$中；$4$填写在$(4,5)$的右上方格$(3,6)$中，由于$(3,6)$超出右边界，所以从最左列进入，即$(3,1)$；$5$填写在$(3,1)$的右上方格$(2,2)$中；$6$应该填写的方格$(1,3)$已经被$1$所占据，因此填写在$(2,2)$的正下方格$(3,2)$中；按照上面的步骤直到所有数填入。

$\begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\ 23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\ 4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\ 10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\ 11 & 18 & 25 & 2 & 9 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 37 & 48 & 59 & 70 & 81 & 2 & 13 & 24 & 35 \\ 36 & 38 & 49 & 60 & 71 & 73 & 3 & 14 & 25 \\ 26 & 28 & 39 & 50 & 61 & 72 & 74 & 4 & 15 \\ 16 & 27 & 29 & 40 & 51 & 62 & 64 & 75 & 5 \\ 6 & 17 & 19 & 30 & 41 & 52 & 63 & 65 & 76 \\ 77 & 7 & 18 & 20 & 31 & 42 & 53 & 55 & 66 \\ 67 & 78 & 8 & 10 & 21 & 32 & 43 & 54 & 56 \\ 57 & 68 & 79 & 9 & 11 & 22 & 33 & 44 & 46 \\ 47 & 58 & 69 & 80 & 1 & 12 & 23 & 34 & 45 \end{bmatrix}$
$3$阶	$5$阶	$9$阶

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

$\begin{bmatrix} 15 & 6 & 19 & 2 & 23 \\ 16 & 12 & 25 & 8 & 4 \\ 9 & 5 & 13 & 21 & 17 \\ 22 & 18 & 1 & 14 & 10 \\ 3 & 24 & 7 & 20 & 11 \end{bmatrix}$

$5$阶

偶数阶幻方构造法

$4M$阶幻方构造法

对于$4M$阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。如4阶幻方的排列法：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix}$
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：
$\begin{bmatrix} 1 & 15 & 14 & 4 \\ 12 & 6 & 7 & 9 \\ 8 & 10 & 11 & 5 \\ 13 & 3 & 2 & 16 \end{bmatrix}$

$4M+2$阶幻方构造法

加边法

以$6$阶为例子，先排出$4$阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上$8m+2=10$，有下图：
$\begin{bmatrix} 11 & 25 & 24 & 14 \\ 22 & 16 & 17 & 19 \\ 18 & 20 & 21 & 15 \\ 23 & 13 & 12 & 26 \end{bmatrix}$
在外围加上一圈格子，把$1,2,3,\dots,8m+2$和$16m^2+8m+3,16m^2+8m+4,\dots,(4m+2)^2$这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于$16m(m+1)+5$。对于$m=1$这些数是：$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$；$27,28,29,30,31,32,33,34,35,36$。
结果如下：
$\begin{bmatrix} 1 & 9 & 34 & 33 & 32 & 2 \\ 6 & 11 & 25 & 24 & 14 & 31 \\ 10 & 22 & 16 & 17 & 19 & 27 \\ 30 & 18 & 20 & 21 & 15 & 7 \\ 29 & 23 & 13 & 12 & 26 & 8 \\ 35 & 28 & 3 & 4 & 5 & 36 \end{bmatrix}$

LUX法

在（4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在首M+1行的格點，全部標上「L」，除了第M+1行中間的是標「U」；在第M+2行的格點，全部標上「U」，除了第M+2行中間的是標「L」；在餘下的M-1行的格點，全部標上「X」。將格點上的數乘以4，再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：

 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2

例子：

[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]

編程語言參考實現

奇數階幻方算法的Java語言實現

/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/
 
public class magic_squre_odd {
       static int[][]  matrix;
       static int   n;
       public static void magic_squre_odd_generate()
       { matrix = new int[n][n];
         //所有的數初始化為0
 
         matrix[0][（n-1）/2] = 1;
         int x = 0,y = (n-1)/2;
 
         //count:記住已經插入過的數
          for(int count = 2; count<=n*n;count++)
          while(true)
          {
          //先x-1 y+1
                  x--;
                  y++;
 
                  //判斷是否可以插入
                  while(true)
                 {//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
                    //判斷是否越界：
                    //越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
                   if(x<0)
                   {
                        x += n;
                        continue;
                   }
 
                   //越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
                   if(y>=n)
                   {
                        y -= n;
                        continue;
                   }
 
                    //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
                      //如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
                   if (y<0){y+=n;continue;}
                   if(matrix[x][y] != 0 )
                   {
                        x += 2;y -= 1;
                        if (x>=n){x-=n;continue;}
                        if (y<0){y+=n;continue;}
                        continue;
                   }
                   break;
                 }
 
                 //將當前的count值賦給選出的空位
                      matrix[x][y]= count;
                      break;
         }
       }
 
       public static void print()
       {
                for(int i = 0; i < n; i++)
                {
                        for(int j = 0; j < n; j++)
                    {
                                //System.out.println(matrix[i][j]);
                                System.out.print(matrix[i][j]);
                                System.out.print("_");
                    }
                        System.out.println();
                }
       }
 
       public  static void main(String[] args)
       {   //手工輸入n的值，並確保為奇數
             n = 11;
           magic_squre_odd_generate();
           print();
       }
}

以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：

68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54

$4$阶幻方算法的Java语言实现

 /**
 * @author: contribute to wikipedia according GNU
 * @description:用于创建4阶的幻方
 *
 */
 
 public class magic_square_4m {
 
        /**
         * @param args
         */
        static int  matrix[][];
        static int   n;
 
        static void magic_squre_4m_generate()
        {
          //初始化matrix
                matrix = new int[n][n];
 
          //将matrix裡的位置用数顺序排列
          int ini = 0;
          for(int i = 0; i < n; i++)
                  for(int j = 0; j < n; j++)
                          matrix[i][j] = ++ini;
 
          //打印对调前的样子
          System.out.println("对调之前的样子：");
          print();
 
          //然后对调（仅对右上方的数进行遍历）
          for(int i = 0; i < n; i++)
              for(int j = i + 1; j < n; j++)
              {
                  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
                  {   //对不在主付对角线上的数关于中心对调
                          int temp;
                          temp = matrix[i][j];
                          matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
                          matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
                  }
                  }
        }
 
        public static void print()
        {
                for(int i = 0; i < n; i++)
                {
                        for(int j = 0; j < n; j++)
                    {
                                System.out.print(matrix[i][j]);
                                System.out.print("_");
                    }
                        System.out.print("\n");
                }
        }
 
        public static void main(String[] args) {
         //这里手动设置n的数值为4，这里只能设置为4，因为只求4阶幻方   
                n = 4;
                magic_squre_4m_generate();
                System.out.println("对调之后的样子：");
                print();
        }
 }

以下是本算法输出的结果：

对调之前的样子：
1_2_3_4_
5_6_7_8_
9_10_11_12_
13_14_15_16_
对调之后的样子：
1_15_14_4_
12_6_7_9_
8_10_11_5_
13_3_2_16_

参见

• 九宫图
• 九宫算
• 洛书
• 幻圆

有用的参考书

• 高治源，九宫图探秘，2004，香港天马图书有限公司
• 张道鑫，素数幻方，2003，香港天马图书有限公司
• 李杭强，趣味数学幻方，2002，香港天马图书有限公司
• 林正禄，开拓智力的奇方——幻方，2001，香港天马图书有限公司

外部链接

• 幻方介绍及其建造方法（英语）
• 一個小學老師幻方研究