拉丁方陣

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一個7x7的拉丁方陣

拉丁方陣(Latin square)是一種 n × n 的方陣,在這種 n × n 的方陣裡,恰有 n 種不同的元素,每一種不同的元素在同一行或同一列裡只出現一次。以下是兩個拉丁方陣舉例:



\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 2 & 3 & 1 \\
 3 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 a & b & d & c \\
 b & c & a & d \\
 c & d & b & a \\
 d & a & c & b
\end{bmatrix}

拉丁方陣有此名稱是因為瑞士數學家物理學家欧拉(Leonhard Paul Euler)使用拉丁字母來做為拉丁方陣裡的元素的符號。

拉丁方陣的標準型[编辑]

當一個拉丁方陣的第一行與第一列的元素按順序排列時,此為這個拉丁方陣的標準型,英語稱為"reduced Latin square, normalized Latin square, 或Latin square in standard form"。

同型類別[编辑]

許多對於拉丁方陣的運算都會產生新的拉丁方陣。例如說,交換拉丁方陣裡的行、交換拉丁方陣裡的列、或是交換拉丁方陣裡的元素的符號,都會得到一個新的拉丁方陣。交換拉丁方陣裡的行、交換拉丁方陣裡的列、或是交換拉丁方陣裡的元素的符號所得的新的拉丁方陣與原來的拉丁方陣稱為同型(isotopic)。同型(isotopism)是一個等價關係,因此所有的拉丁方陣所成的集合可以分成同型類別(isotopic class)的子集合,同型的拉丁方陣屬於同一個同型類別,而不屬於同一個同型類別的拉丁方陣則不同型。

參見[编辑]

希臘拉丁方陣[编辑]

兩個拉丁方陣相正交所得到的方陣為希臘拉丁方陣(Graeco-Latin square),拉丁方陣 n orders 就有 n-1 個正交方陣(orthogonal square)。

拉丁方陣的數量[编辑]

沒有公式可以計算 n × n 的拉丁方陣的數量,當 n 很大時,拉丁方陣的數量的最精確的估計值,其上下界也相差很遠。以下是已知的數值。當 n 增加時,拉丁方陣的數量急速增多。

不同大小的 n × n 的拉丁方陣的數量
n 拉丁方陣的標準型的數量OEIS中的数列A000315 所有拉丁方陣的數量OEIS中的数列A002860
1 1 1
2 1 2
3 1 12
4 4 576
5 56 161280
6 9408 812851200
7 16942080 61479419904000
8 535281401856 108776032459082956800
9 377597570964258816 5524751496156892842531225600
10 7580721483160132811489280 9982437658213039871725064756920320000
11 5363937773277371298119673540771840 776966836171770144107444346734230682311065600000

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

外部鏈接[编辑]