算术-几何平均数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

两个正实数xy算术-几何平均数定义如下:

首先计算xy算术平均数,称其为a1。然后计算xy几何平均数,称其为g1;这是xy算术平方根

a_1 = \frac{x+y}{2}
g_1 = \sqrt{xy}.

然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列(an)和(gn):

a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}
g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}.

这两个数列收敛于相同的数,这个数称为xy算术-几何平均数,记为M(x, y),或agm(x, y)。

例子[编辑]

欲计算a0 = 24和g0 = 6的算术-几何平均数,首先算出它们的算术平均数和几何平均数:

a_1=\frac{24+6}{2}=15,
g_1=\sqrt{24 \times 6}=12,

然后进行迭代:

a_2=\frac{15+12}{2}=13.5,
g_2=\sqrt{15 \times 12}=13.41640786500\dots etc.

继续计算,可得出以下的值:

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.41640786500...
3 13.45820393250... 13.45813903099...
4 13.45817148175... 13.45817148171...

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限,大约为13.45817148173。

性质[编辑]

M(x, y)是一个介于xy的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果r > 0,则M(rx, ry) = r M(x, y)。

M(x,y)还可以写为如下形式:

\Mu(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }

其中K(x)是第一类完全椭圆积分

1和\sqrt{2}的算术-几何平均数的倒数,称为高斯常数

 \frac{1}{\Mu(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots

存在性的证明[编辑]

由算术几何不等式可得

g_n \leqslant a_n

因此

g_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geqslant \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n

这意味着 \{g_n\} 是不降序列。同时,因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间,又可以得到该序列是有上界的(x,y 中的较大者)。根据单调收敛定理,存在 g 使得:

\lim_{n\to \infty}g_n = g

然而,我们又有:

a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n}

从而:

\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g

证毕。

关于积分表达式的证明[编辑]

该证明由高斯首次提出。[1]

I(x,y) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}},

将积分变量替换为 \theta', 其中

 \sin\theta = \frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'},

于是可得


\begin{align}
I(x,y) &= \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta'}{\sqrt{\bigl(\frac12(x+y)\bigr)^2\cos^2\theta'+\bigl(\sqrt{xy}\bigr)^2\sin^2\theta'}}\\
       &= I\bigl(\tfrac12(x+y),\sqrt{xy}\bigr).
\end{align}

因此,我们有


\begin{align}
I(x,y) &= I(a_1, g_1) = I(a_2, g_2) = \cdots\\
  &= I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr) = \pi/\bigr(2M(x,y)\bigl).
\end{align}

最后一个等式可由 I(z,z) = \pi/(2z) 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式:

M(x,y) = \pi/\bigl(2 I(x,y) \bigr).

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. (编) J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein. Pi: A Source Book. Springer. 2004年: 481. ISBN 978-0-387-20571-7.  first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330