算术-几何平均数

两个正实数x和y的算术-几何平均数定义如下：

首先计算x的y算术平均数，称其为a₁。然后计算x的y几何平均数，称其为g₁；这是xy的算术平方根。

$a_1 = \frac{x+y}{2}$

$g_1 = \sqrt{xy}.$

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列(a_n)和(g_n)：

$a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}$

$g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}.$

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为x和y的算术-几何平均数，记为M(x, y)，或agm(x, y)。

例子 [编辑]

欲计算a₀ = 24和g₀ = 6的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

$a_1=\frac{24+6}{2}=15,$

$g_1=\sqrt{24 \times 6}=12,$

然后进行迭代：

$a_2=\frac{15+12}{2}=13.5,$

$g_2=\sqrt{15 \times 12}=13.41640786500\dots$ etc.

继续计算，可得出以下的值：

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

M(x, y)是一个介于x和y的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果r > 0，则M(rx, ry) = r M(x, y)。

M(x,y)还可以写为如下形式：

$\Mu(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }$

其中K(x)是第一类完全椭圆积分。

1和 $\sqrt{2}$ 的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

$\frac{1}{\Mu(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots$

Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR 1641658
埃里克·韦斯坦因, Arithmetic-Geometric mean at MathWorld