平方平均数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

平方平均数(Quadratic mean),簡稱方均根(Root Mean Square,縮寫為 RMS),是2次方的廣義平均數的表达式,也可叫做2次冪平均數。其計算公式是:

M = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \over n} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \over n}

連續函數\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}的區間\begin{smallmatrix}[a,b]\end{smallmatrix}內,其方均根定義為:

f_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {b-a}} {\int_{a}^{b} {[f(x)]}^2\, dx}}

應用[编辑]

方均根常用來計算一組數據和某個數據的「平均差」。像交流電電壓電流數值以及均勻加速直綫運動的位移中點平均速度,都是以其實際數值的方均根表示。例如“220V交流電”表示電壓信號的均方根(又稱為有效值)為 220V,為交流電瞬時值(瞬時值又稱暫態值)的最大值(峰值)的\frac{1}{\sqrt{2}}

另外,統計學中的標準差 \bar{s},就是所有數據 x_1, x_2, ..., x_n 和平均值  \bar{x} 相減後的數據

x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, ..., x_n-\bar{x}

的方均根

\bar{s} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n}}


適用模型[编辑]

方均根值並非所有模型均適用, 只有在數值分佈呈現常態分佈時才適用。 常態分佈曲線就是我們熟知的sin(x) 0~pi這一段、或 cos(x) pi~2pi這一段的曲線。

如果分佈呈現方波、3角波,那就要用其它的公式, 否則失真會很大。

國中、高中的數學題目中常常會出現以方均根值計算班級平均成績的題目, 這是預先假設全班成績為常態分佈的結果,實際情況不一定完全適用。 如成績分佈極為平均或呈現多峰狀(如 30分、70分的人數遠超過其它分數的人數), 方均根值就無法真實表現出該班級的平均成績。

参见[编辑]