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標準分數

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正態分佈跟標準分數之間的關係。

標準分數Standard Score,又稱z-score,中文稱為Z-分數标准分標準計分[1])在統計學中是一種無因次值,就是一種純數字標記,是藉由從單一(原始)分數中減去母體平均值,再依照母體(母集合)的標準差分割成不同的差距,按照z值公式,各個樣本在經過轉換後,通常在正、負五到六之間不等。其算數平均數必為0,標準差必為1。

概念

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標準分數與使用在高速篩選分析中的「Z-因數」(z-factor)不同,甚至有時兩者會互相混淆。

其約化過程被稱為「標準化」(standardizing)。

標準分數可藉由以下公式求出:

其中

其中

  • 是需要被標準化的原始分數
  • 是母體的平均值
  • 是母體的標準差

Z值的量代表著原始分數和母體平均值之間的距離,是以標準差為單位計算。在原始分數低於平均值時Z則為負數,反之則為正數。换句话说,Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。

關鍵點是,計算Z值時需要「母體」的平均值和標準差,而不是「樣本」的平均值和標準差。因此需要了解母體的統計數據資料。

但是要確實了解母體真正的標準差往往是不切實際的,除非是在「標準化測驗」之類的情形中,整個母體都是經過測量的。在其他情況中,幾乎不可能測量母體的每一個組成單位,因此通常會使用隨機的樣本來評估標準差。例如:「有吸菸習慣的總人數」就不是經過一個一個測量而得出的。

在這種情況下,標準分數為:

其中

其中

  • 是樣本平均值

當母體為正态分布時,其百分位数可能是由標準分數和普通表格所決定的。

數理統計學中的標準化

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数理统计学中,隨機變數「X」是使用理論(母體)的平均值和標準差所標準化的結果:

其中 μ = E(X) 為平均值、σ² = Var(X) 為X概率分布之方差

若隨機變數無法確定時,則為算术平均数

因此經過標準化的結果為:

應用

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  • 日本,標準分數常被用在計算學力測驗的「學力偏差值」,並且依此判斷進入理想大學的可能性。
  • 智力測驗時,用來計算「智力標準分數」,在教育的用途上,常和「智商」一起被當作參考的依據。

高考标准分

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截至2020年,中国大陆地区曾有福建省海南省实行标准分制度以计算高考总分。

外部連結

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參見

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參考資料

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  1. ^ 樂詞網:標準計分. 國家教育研究院樂詞網. [2024-01-13]. (原始内容存档于2024-01-13) (中文(臺灣)).