平均数不等式

平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式。它是说：

如果$x_1, \ldots, x_n$是正數，则

$\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \le \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \le \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n}$

即 $\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \le \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \over n}$

当且仅当 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ ，等号成立。

即对这些正数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（均方根）

$n = 2$ 时的情形

• 第一个不等号

$\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;$	$\ge 0\,\;$
$\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;$	$\ge 4 x_1 x_2\,\;$
$1\,\;$	$\ge \frac{4 x_1 x_2}{\left( x_1 + x_2 \right) ^2}\,\;$
$1\,\;$	$\ge \frac{2 \sqrt{x_1 x_2}}{ x_1 + x_2 }\,\;$
$\sqrt{x_1 x_2}\,\;$	$\ge \frac{2 x_1 x_2}{ x_1 + x_2 } = \frac{2}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} }\,\;$

• 第二个不等号

$\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;$	$\ge 0\,\;$
$\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;$	$\ge 4 x_1 x_2\,\;$
$\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2\,\;$	$\ge x_1 x_2\,\;$
$\frac{x_1 + x_2}{2}\,\;$	$\ge \sqrt{x_1 x_2}\,\;$

• 第三个不等号

$(\frac{ x_1 - x_2 }{2}) ^2 = \frac{x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2}{4}\,\;$	$\ge 0\,\;$
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_1^2 + x_2^2}{4}\,\;$	$\ge \frac{2 x_1 x_2 + x_1^2 + x_2^2}{4} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4}\,\;$
$\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{2}}\,\;$	$\ge \frac{x_1 + x_2}{2}\,\;$

参见

• 算术-几何平均值不等式
• 幂平均不等式