平均数不等式

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平均数不等式,或称平均值不等式均值不等式,是数学上的一组不等式,也是基本不等式的推广。它是说:

如果x_1, x_2, \ldots, x_n是正數,则

H_n \le G_n \le A_n \le Q_n

其中: H_n = \dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} = \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}}

G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}

A_n = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

Q_n = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}}

当且仅当 x_1 = x_2 = \cdots = x_n ,等号成立。

即对这些正数:调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数(方均根)

简记为:“调几算方

n = 2 时的情形[编辑]

  • 第一个不等号
\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 0\,\;
\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 4 x_1 x_2\,\;
1\,\; \ge \frac{4 x_1 x_2}{\left( x_1 + x_2 \right) ^2}\,\;
1\,\; \ge \frac{2 \sqrt{x_1 x_2}}{ x_1 + x_2 }\,\;
\sqrt{x_1 x_2}\,\; \ge \frac{2 x_1 x_2}{ x_1 + x_2 } = \frac{2}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} }\,\;
  • 第二个不等号
\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 0\,\;
\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 4 x_1 x_2\,\;
\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2\,\; \ge x_1 x_2\,\;
\frac{x_1 + x_2}{2}\,\; \ge \sqrt{x_1 x_2}\,\;
  • 第三个不等号
(\frac{ x_1 - x_2 }{2}) ^2 = \frac{x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2}{4}\,\; \ge 0\,\;
\frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_1^2 + x_2^2}{4}\,\; \ge \frac{2 x_1 x_2 + x_1^2 + x_2^2}{4} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4}\,\;
\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{2}}\,\; \ge \frac{x_1 + x_2}{2}\,\;

证明方法[编辑]

关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法:

(注:在此证明的,是对n维形式的均值不等式的证明方法。)

用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。

引理:设A≥0,B≥0,则\left(A+B\right)^n\ge A^n+nA^{n-1}B,且仅当B=0时取等号。

注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于:\left ( {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}} \right )^{n} \ge a_{1}a_{2} \cdots a_{n}, 当且仅当a_1=a_2=\cdots=a_n时取等号。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立,即\left ( {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k}} \right )^{k} \ge a_{1}a_{2} \cdots a_{k}, 当且仅当\left ( {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k}} \right )^{k} \ge a_{1}a_{2} \cdots a_{k}时取等号。

那么当n=k+1时,不妨设a_{k+1}a_1a_2 \cdots a_{k+1}中最大者,则ka_{k+1} \ge a_1+a_2+\cdots+a_{k}

S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{k}\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1} = \left(\frac{S}{k}+\frac{ka_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right)^{k+1},根据引理

\left(\frac{S}{k}+\frac{ka_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right)^{k+1} \ge \left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k+1}+(k+1)\left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k}\frac{ka_{k+1}-S}{k(k+1)} = \left(\frac{S}{k}\right)^{k}a_{k+1} \ge a_1a_2 \cdots a_ka_{k+1},当且仅当ka_{k+1}-S=0a_1=a_2=\cdots=a_k时,即a_1=a_2=\cdots=a_k=a_{k+1}时取等号。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式,同时还有柯西归纳法等等方法。

参见[编辑]