当且仅当

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当且仅当if and only if),中国大陆称作当且仅当,臺灣称作若且唯若,在数学哲学逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在,并且仅仅在这些条件成立的时候”之意,在英语中的对应标记为iff。虽然“A当且仅当B”是一个标准用法,但是公认的其他同样说法还有“A是B的充分及必要条件(necessary and sufficient condition)(或稱為充要條件)”,或者“A成立,正当B”。

一般而言,當我們看到“A若且唯若B”,我們可以知道“如果A成立時,則B一定成立”而且“如果B成立時,則A也一定成立”。

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标记[编辑]

与此相对应的逻辑符号是\leftrightarrow\Leftrightarrow。这两个通常被当作是相等的。但是,一些数学教科书,特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别,在那里前者被用来表示逻辑公式,后者表示那些公式的推理(譬如说在元逻辑中)。

证明[编辑]

证明“A当且仅当B”时,这相当于去同时证明陈述“如果A成立,则B成立”和“如果B成立,则A成立”。另外,也可以证明“如果A成立,则B成立”和“如果A不成立,则B不成立”,后者作为对偶,等价于“如果B成立,则A成立”。

有关英语缩写Iff的开端[编辑]

在出版物中,英语Iff的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯,但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处,他只是首先在数学领域使用[1]

“当”与“当且仅当”[编辑]

简单地,如下的两个例子可以说明这两者的不同:

  1. 冰淇淋香草口味的,小王会吃这个冰淇淋。(这等于说:如果冰淇淋是香草口味的,那么小王会吃这个冰淇淋。)
  2. 当且仅当冰淇淋是香草口味,小王会吃这个冰淇淋。(这等于说:如果冰淇淋是香草口味的,那么小王会吃这个冰淇淋;并且,如果小王吃冰淇淋,那么这个冰淇淋就是香草口味的。)

第1句只是说小王会吃香草口味的冰淇淋。但是这并没有排除他还会吃香草以外口味冰淇淋的可能性。可能他会吃,可能不会。这个句子并没有告诉我们。我们所能够肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。

但是第2句阐述的非常明确,就是小王会吃并且只吃香草口味的。他不会吃任何其它口味的冰淇淋。

进一步的思考[编辑]

用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。

双条件句“‘A’当且仅当‘B’”,是用“A”和“B”来陈述A和B所描述的事件状况之间的关系。

相对照的,“‘A’逻辑等价于‘B’”则注重两个句子:它只是陈述两个句子之间的关系,而不是它们所介绍的什么事情。

这里的区别非常容易混淆,已经使得很多哲学家迷惑。当然,在“A”逻辑等价于“B”的时候,“A”当且仅当“B”为真,但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子:

  • 小王今天要吃冰淇淋当且仅当它是香草口味的。

很清楚,对于这个特定的双条件句,两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异,请参照W. V. Quine的《数理逻辑,第5节》。

在哲学和逻辑学中,“当且仅当”通常用作定义,因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中,相比起“当且仅当”,如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述,也是真双条件句(第一句是一个定义的例子):

  • 一个人是单身男性当且仅当他是一个未婚的而且是可结婚的男人。
  • x+1=2当且仅当x=1。
  • 对于任意的A, B, 和 C:(A & B) & C 当且仅当A & (B & C)。(因为这句句子是用变量和&的形式来写得,陈述也通常会使用“\leftrightarrow”,或者其它用来写双条件句的符号,来代替“当且仅当”)

更一般的用法[编辑]

“当且仅当”在逻辑领域以外,如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说,它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。(即使如此,相比起“当且仅当”,“如果”一般多出现在定义的陈述中。)

参考资料[编辑]

  1. ^ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998. 24. ISBN 978-0-89871-420-3. 

参见[编辑]