若且唯若

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若且唯若(If and only if),中國大陸稱作當且僅當,臺灣稱作若且唯若,在數學哲學邏輯學以及其他一些技術性領域中被用來表示「在,並且僅僅在這些條件成立的時候」之意,在英語中的對應標記為Iff。雖然「A若且唯若B」是一個標準用法,但是公認的其他同樣說法還有「A是B的充分必要條件(或稱為充要條件)」,或者「A成立,正若B」。

一般而言,當我們看到「A若且唯若B」,我們可以知道「如果A成立時,則B一定成立」而且「如果B成立時,則A也一定成立」。

若且唯若[編輯]

標記[編輯]

與此相對應的邏輯符號是\leftrightarrow\Leftrightarrow。這兩個通常被當作是相等的。但是,一些數學教科書,特別是那些關於一階邏輯而非命題邏輯對此有所區別,在那裡前者被用來表示邏輯公式,後者表示那些公式的推理(譬如說在元邏輯中)。

證明[編輯]

證明「A若且唯若B」時,這相當於去同時證明陳述「如果A成立,則B成立」和「如果B成立,則A成立」。另外,也可以證明「如果A成立,則B成立」和「如果A不成立,則B不成立」,後者作為對偶,等價於「如果B成立,則A成立」。

有關英語縮寫Iff的開端[編輯]

在出版物中,英語Iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯,但在哈爾莫斯的自傳中卻宣告該標記另有出處,他只是首先在數學領域使用[1]

「若」與「若且唯若」[編輯]

簡單地,如下的兩個例子可以說明這兩者的不同:

  1. 冰淇淋香草口味的,小王會吃這個冰淇淋。(這等於說:如果冰淇淋是香草口味的,那麼小王會吃這個冰淇淋。)
  2. 若且唯若冰淇淋是香草口味,小王會吃這個冰淇淋。(這等於說:如果冰淇淋是香草口味的,那麼小王會吃這個冰淇淋;並且,如果小王吃冰淇淋,那麼這個冰淇淋就是香草口味的。)

第1句只是說小王會吃香草口味的冰淇淋。但是這並沒有排除他還會吃香草以外口味冰淇淋的可能性。可能他會吃,可能不會。這個句子並沒有告訴我們。我們所能夠肯定的是他不會拒絕香草口味的冰淇淋。

但是第2句闡述的非常明確,就是小王會吃並且只吃香草口味的。他不會吃任何其它口味的冰淇淋。

進一步的思考[編輯]

用「若且唯若」連線兩個句子造成的句子被稱為是「雙條件句」。「若且唯若」把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關聯的「邏輯等價」混淆。

雙條件句「『A』若且唯若『B』」,是用「A」和「B」來陳述A和B所描述的事件狀況之間的關聯。

相對照的,「『A』邏輯等價於『B』」則注重兩個句子:它只是陳述兩個句子之間的關聯,而不是它們所介紹的什麼事情。

這裡的區別非常容易混淆,已經使得很多哲學家迷惑。當然,在「A」邏輯等價於「B」的時候,「A」若且唯若「B」為真,但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子:

  • 小王今天要吃冰淇淋若且唯若它是香草口味的。

很清楚,對於這個特定的雙條件句,兩個半句之間並沒有邏輯等價。如想了解更多的差異,請參照W. V. Quine的《數理邏輯,第5節》。

在哲學和邏輯學中,「若且唯若」通常用作定義,因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中,相比起「若且唯若」,如果通常被用於定義。這裡給出一些使用到「若且唯若的」真陳述,也是真雙條件句(第一句是一個定義的例子):

  • 一個人是單身男性若且唯若他是一個未婚的而且是可結婚的男人。
  • x+1=2若且唯若x=1。
  • 對於任意的A, B, 和 C:(A & B) & C 若且唯若A & (B & C)。(因為這句句子是用變數和&的形式來寫得,陳述也通常會使用「\leftrightarrow」,或者其它用來寫雙條件句的符號,來代替「若且唯若」)

更一般的用法[編輯]

「若且唯若」在邏輯領域以外,如同在數學出版物或者普通的談話中都會用到。如同上面所說,它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。(即使如此,相比起「若且唯若」,「如果」一般多出現在定義的陳述中。)

參考資料[編輯]

  1. ^ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998. 24. ISBN 978-0-89871-420-3. 

參見[編輯]