群论

在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。

[群]在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群（Lie groups）作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。

群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。

群论中的重要结果，有限单群分类（classification of finite simple groups）是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。

历史

群论在历史上主要有三个来源：数论，代数方程理论和几何学。数论中出现的对群的研究始于莱昂哈德·欧拉，之后由卡尔·弗里德里希·高斯在对模算术和与二次域相关的乘法和加法的研究中进行了发展。群论的概念在代数数论中首先被隐含地使用，后来才显式地运用它们。

关于置换群的早期结果出现在约瑟夫·拉格朗日、保罗·鲁非尼（Paolo Ruffini）和尼尔斯·阿贝尔等人关于高次方程一般解的工作中。1830年，埃瓦里斯特·伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”，并在新生的群的理论与域论之间建立起了联系。这套理论现在被称为伽罗瓦理论。阿瑟·凯莱和奥古斯丁·路易·柯西进一步发展了这些研究，创立了置换群理论。

群论的第三个主要历史渊源来自几何。群论在射影几何中首次显示出它的重要性，并在之后的非欧几何中起到了作用。菲利克斯·克莱因用群论的观点，在不同的几何学（如欧几里德几何、双曲几何、射影几何）之间建立了联系，即爱尔兰根纲领。1884年，索菲斯·李开始研究分析学问题中出现的群（现在称为李群）。

属于不同领域的来源导致了群的不同记法。群的理论从约1880年起开始统一。在那之后，群论的影响一直在扩大，在20世纪早期促进了抽象代数、表示论和其他许多有影响力的子领域的建立。有限单群分类是20世纪中叶一项规模庞大的工作，对一切的单群进行了分类。

群的主要类型

群论考虑的群的类型从有限置换群和一些特殊的矩阵群逐渐进展到抽象群。这些抽象群可以由生成元和关系给定。

置换群

置换群是第一类被系统研究的群。对给定的集合X，X到自身的一些双射（通常叫做置换）的集合G如果在复合运算和求逆运算下封闭，那么称G是一个作用于X上的群。如果X包含n个元素而G包含所有可能的置换，那么G被称为对称群$S_n$。一般地，任何置换群都是X的对称群的子群。凯莱定理表明，通过构造左正规表示，任何一个群都可以视作自身上的一个变换群。

矩陣群

例子：李群

抽象群

$G = \langle S|R\rangle.$

拓撲群／代數群

$m: G\times G\to G, (g,h)\mapsto gh, \quad i:G\to G, g\mapsto g^{-1},$

群论的運用

群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。

阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。

在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。

李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。

在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。

后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理學的超弦理論。

外部链接

• 稱對的對稱——遊走於科學與藝術間