群论

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在數學上，群論是抽象代數的分支，是研究群的一种理论。群是满足以下三个属性的一个封闭元操作的集合：

 1. 操作满足结合律。
 2. 单位元存在。
 3. 每一个元素都必须有一个相应的逆元。

群论的贯穿于数学之中，并且在物理和化学中有很多的应用。群可以是有限的也可以是无限的。宣称于1983年完成的有限简单群分类，是20世纪数学的主要成就之一。

[编辑] 群和对称的关系

最早由伽罗华用来研究哪些有理系数多项式可以根式求解，哪些不可以根式求解。

群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。

阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。

在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。

李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。

在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。

后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理學的超弦理論。

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