关系 (数学)

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數學上,關係是對如等於 = <二元關係的廣義化。

簡介[编辑]

參考一個如「 X 認為 Y 喜歡 Z 」之類的關係,其實際情形如下:

關係 S : X 認為 Y 喜歡 Z
X Y Z
韻如 柏豪 佳馨
正乾 韻如 柏豪
正乾 正乾 韻如
佳馨 佳馨 佳馨


上表的每一行都代表著一個事實,並給出「 X 認為 Y 喜歡 Z 」此類形式的斷言。例如,第一行即表示「韻如認為柏豪喜歡佳馨」。上表表示一個在集合 P 上的關係 S,其中:

P = {韻如,柏豪,正乾,佳馨}

包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對:

S = {(韻如,柏豪,佳馨), (正乾,韻如,柏豪), (正乾,正乾,韻如), (佳馨,佳馨,佳馨)}

若較不嚴謹些,通常會將 S(韻如,柏豪,佳馨) 用來指上表中第一行的同一種關係。關係 S 為「三元」關係,因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以集合論中的概念定義出的數學物件(即關係為 {X,Y,Z} 的笛卡兒積的子集),包含了表中所有的訊息。因此,數學上來說,關係純粹是個集合

形式定義[编辑]

k 元關係在數學上有兩種常見的定義。

定義1 在集合 X1,…,Xk 上的關係 L 是指集合的笛卡兒積子集,寫成 LX1 × … × Xk。因此,在此定義下, k 元關係就是個 k 元組的集合。

第二個定義用到數學上一個常見的習慣-說「某某為一 n 元組」即表示此一某某數學物件是由 n 組數學物件的描述來判定的。在於集合 k 上的關係 L中,會有 k+1 件事要描述,即 k 個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下, L 可以說是一個 k+1 元組。

定義2 在集合 X1,…,Xk 上的關係 L 是一個 k+1 元組 L = (X1, …, Xk, G(L)) ,其中 G(L) 是笛卡兒積X1 × … × Xk的子集,稱之為 L 的「關係圖」。

例子[编辑]

可除性[编辑]

兩個正整數 nm 之間「可除性」的關係是指「 n 整除 m 」。此一關係通常用一特殊的符號「 | 」來表示它,寫成「 n|m 」來表示「 n 整除 m 」。

若要以集合來代表這二元關係,即是設正整數的集合 P = {1,2,3,…} ,然後可除性就是一個在 P上的二元關係 D ,其中 D為一包含了所有 n|m 的有序對 (n,m)。

例如,2為4的因數及6為72的因數,則可寫成 2|4 和 6|72 ,或 D(2,4) 和 D(6,72) 。

共面[编辑]

對三維空間內的線 L,存在一個三條線為共面的三元關係。此一關係「無法」縮減成兩條線共面的二元對稱關係

換句話說, 若 P(L,M,N) 表示 線 L,M,N 共面,且 Q(L,M) 表示 線 L,M 共面,則 Q(L,M),Q(M,N) 和 Q(N,L) 不能合起來代表 P(L,M,N) 也是對的;但相反則是正確的(三條共面的線之中的一對必然也會是共面的)。其中有兩個幾何上的反例。

第一個是,如 x 軸、 y 軸和 z 軸之類共點(即交於同一點)的三條線。另一個則是在任一三角柱上平行的三邊。

若要正確,則必須加上每對線都會相交且相交的點都不同。如此一來,每對線的共面才會意指三條線的共面。

關係的性質[编辑]

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括:自反性反自反性对称性反对称性传递性。 确定一个关系是否具有这些性质,可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。

n 元谓词[编辑]

n 元谓词就是含有 n 个变量布尔值函数

由于上述的 n 元关系定义了 (x1, ..., xn) 属于 R 时唯一的 n 元谓词(反之亦然),关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的:

(x_1,x_2,\dotsb)\in R
R(x_1,x_2,\dotsb)

多重关系[编辑]

许多事物有多个元素两两关系。例如:

1,无穷个素数都是两两互素。例如素数2,3,5,7,11,就是所有素数之间没有公共因数,我们知道有无穷的素数两两互素;

2,无穷个区域两两相连。例如,一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连,有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连,有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连,...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。