关系 (数学)

在數學上，關係是對如等於 = 或序 < 等二元關係的廣義化。

簡介

參考一個如「 X 認為 Y 喜歡 Z 」之類的關係，其實際情形如下：

關係 S : X 認為 Y 喜歡 Z

X	Y	Z
韻如	柏豪	佳馨
正乾	韻如	柏豪
正乾	正乾	韻如
佳馨	佳馨	佳馨

上表的每一行都代表著一個事實，並給出「 X 認為 Y 喜歡 Z 」此類形式的斷言。例如，第一行即表示「韻如認為柏豪喜歡佳馨」。上表表示一個在集合 P 上的關係 S，其中：

P = {韻如,柏豪,正乾,佳馨}

包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對：

S = {(韻如,柏豪,佳馨), (正乾,韻如,柏豪), (正乾,正乾,韻如), (佳馨,佳馨,佳馨)}

若較不嚴謹些，通常會將 S(韻如,柏豪,佳馨) 用來指上表中第一行的同一種關係。關係 S 為「三元」關係，因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以集合論中的概念定義出的數學物件（即關係為 {X,Y,Z} 的笛卡兒積的子集），包含了表中所有的訊息。因此，數學上來說，關係簡單是個集合。

形式定義

k 元關係在數學上有兩種常見的定義。

定義1 在集合 X₁、…、X_k 上的關係 L 是指集合的笛卡兒積的子集，寫成 L ⊆ X₁ × … × X_k。因此，在此定義下， k 元關係簡單是個 k 元組。

第二個定義用到數學上一個常見的習慣－說「某某為一 n 元組」即表示此一某某數學物件是由 n 組數學物件的描述來判定的。在於集合 k 上的關係 L中，會有 k+1 件事要描述，即 k 個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下， L 可以說是一個 k'+1 元組。

定義2 在集合 X₁、…、X_k 上的關係 L 是一個 k+1 元組 L = (X₁, …, X_k, G(L)) ，其中 G(L) 是笛卡兒積X₁ × … × X_k的子集，稱之為 L 的「關係圖」。

例子

可除性

兩個正整數 n 和 m 之間「可除性」的關係是指「 n 整除 m 」。此一關係通常用一特殊的符號「 | 」來表示它，寫成「 n|m 」來表示「 n 整除 m 」。

若要以集合來代表可除性的二元關係，則有一個正整數的集合 P = {1,2,3,…} ，和一個在 P上的二元關係 D ，其中 D為一包含了所有 n|m 的有序對 (n,m)。

例如，像是2為4的因數及6為72的因數，則可寫成 2|4 和 6|72 ，或 D(2,4) 和 D(6,72) 。

共面

對三維空間內的線 L，存在一個三條線為共面的三元關係。此一關係「無法」縮減成兩條線共面的二元對稱關係。

換句話說， 若 P(L,M,N) 表示 線 L 、 M 、 N 共面，且 Q(L,M) 表示 線 L 、 M 共面，則 Q(L,M) 、 Q(M,N) 和 Q(N,L) 不能合起來代表 P(L,M,N) 也是對的；但相反則是正確的（三條共面的線之中的一對必然也會是共面的）。其中有兩個幾何上的反例。

第一個是，如 x 軸、 y 軸和 z 軸之類共點（即交於同一點）的三條線。另一個則是在任一三角柱上平行的三邊。

若要正確，則必須加上每對線都會相交且相交的點都不同。如此一來，每對線的共面才會意指三條線的共面。

更抽象的分类

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系.一些常见的性质包括:自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。 确定一个关系是否具有这些性质，可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余。

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。自然数集上的大于等于、集合论中的包含关系都是偏序关系。

n 元谓词

n 元谓词就是含有 n 个变量的布尔值函数。

由于上述的 n 元关系定义了 (x₁, ..., x_n) 属于 R 时唯一的 n 元谓词（反之亦然），关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的：

$(x_1,x_2,\dotsb)\in R$

$R(x_1,x_2,\dotsb)$

多重关系

许多事物有多个元素两两关系。例如：

1，无穷个素数都是两两互素。例如素数2,3,5,7,11，就是所有素数之间没有公共因数，我们知道有无穷的素数两两互素；

2，无穷个区域两两相连。例如，一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连，有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连，有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连，...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。 ref:fds