因數

因數，又稱約數，是一個常見的數學名詞。

定義

假如整數n除以m，結果是無餘數的整數，那麼我們稱m就是n的因數。 需要注意的是，唯有被除數，除數，商皆為整數，餘數為零時，此關係才成立。 反過來說，我們稱n為m的倍數。

要留意的是：

• 因數不限正負
• 1, -1, n 和 -n 這四個數叫做 n 的明顯因數

數學寫法

可以用因數∣倍數或倍數≡0（mod 因數）來表達（參見同餘），但用後者時因數一定要是正因數。因數∣倍數式中的垂直線是整除符號。它的統一碼值是 U+2223。

例如 $42=6\times7$，因此 7 是 42 的因數，寫作 7∣42，亦是$42 \equiv 0 \pmod{7}$。而 1，-1，42 和 -42 都是 42 的明顯因數。

相關名詞

• 質數

當一個大於1的整數恰有兩個正因數，稱為質數。

• 合數

當一個大於1的整數有兩個以上的正因數，稱為合數。

• 質因數

當一個因數，同時又是質數，稱之為質因數。

• 質因數分解

把一個數分解成質數相乘，即為質因數分解。

• 因式

當多項式a 乘 多項式b = 多項式c，多項式a 和 多項式b就是多項式c的因式。

其他

• 所有n的正因數都是n的質因數的積的一些冪。這是算術基本定理的結果。

• 1是所有整數的正因數，-1是所有整數的負因數，因為$x=1x=-1\times(-x)$

由上式同樣可證明，一個整數及其相反數必然為自身的因數，叫做明顯因數。

• n的正因數數目是積性函數d(n)，正因數之和則是另一個積性函數σ(n)。詳見除數函數

• 質數的平方數只有三個正因數。

因數判別法

• 0----為所有整數之倍數。
• ±1----為所有整數之因數。
• ±2----所有偶數（0,2,4,6,8結尾）皆有此因數。ex:2,-6,989896,11111112,-454
• ±3----若所有位數加起來為3的倍數，即是。ex:69255 → (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/3 = 27/3 = 9
• ±4----若最後兩位數可以被4除盡，即是。ex:9898989898540 → 40/4 = 10

判別是否有$2^a$或$5^a$的因數，取其最後a位，除以$2^a$或$5^a$，可除盡即是。

• ±5----查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。（參上）。ex:5454545,45454500,50
• ±6----同時符合±2（末位是0,2,4,6,8）和±3（相加可除盡）的條件。（因為6=2×3）ex:66,7986252,99999996
• ±8----若最後三位數可以被8除盡，即是。（參因數 4）。ex,8000,1256000,95872
• ±9----所有位數加起來為9的倍數，即是。ex:69255→(6 + 9 + 2 + 5 + 5)/9 = 27/9 = 3
• ±10---看最後一位數為0即是。ex:530,73500,50
• ±11---將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0,11等11的倍數，即是。ex:19866/11→1 + 8 + 6 – (9 + 6)=0
• ±12---同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件。（因為12=$2^2$×3）ex:60

相關條目

• 質數
• 質因數
• 最小公倍數
• 最大公因數