因數

因數，又稱約數，是一個常見的數學名詞。

定義

假如整數n除以m，結果是無餘數的整數，那麼我們稱m就是n的因數。 需要注意的是，唯有被除數，除數，商皆為整數，餘數為零時，此關係才成立。 反過來說，我們稱n為m的倍數。

要留意的是：

• 因數不限正負
• 1, -1, n 和 -n 這四個數叫做 n 的明顯因數

數學寫法

可以用   因數∣倍數   或   倍數≡0 (mod 因數)   來表達（參見同餘），但用後者時因數一定要是正因數。因數∣倍數 式中的垂直線是整除符號。它的統一碼值是 U+2223。

例如 $42=6\times7$，因此 7 是 42 的因數，寫作 7∣42，亦是$42 \equiv 0 \pmod{7}$。而 1，-1，42 和 -42 都是 42 的明顯因數。

相關名詞

• 質數

當一個大於1的整數恰有兩個因數，稱為質數。

• 合數

當一個大於1的整數有兩個以上的因數，稱為合數。

• 質因數

當一個因數，同時又是質數，稱之為質因數。

• 質因數分解

把一個數分解成質數相乘，即為質因數分解。

• 因式

當多項式a 乘 多項式b = 多項式c，多項式a 和 多項式b就是多項式c的因式。

其他

• 所有n的正因數都是n的質因數的積的一些冪。這是算術基本定理的結果。

• 1是所有整數的正因數，-1是所有整數的負因數，因為$\chi=1\chi=-1\times(-\chi)$

[此時令x為整數] 由上式同樣可證明，一個整數及其相反數必然為自身的因數，叫做明顯因數。

• n的正因數數目是積性函數d(n)^[求解釋]。正因數之和則是另一個乘法函數σ(n)^[求解釋]。

• 質數的平方數只有三個正因數。

因數判別法

• ±1----所有整數。ex:1,2,4,6,-11,109,-1265
  
• ±2----所有偶數(0,2,4,6,8結尾)ex:2,-6,989896,11111112,-454
  
• ±3----所有位數加起來為3的倍數，即是。ex:69255 → (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/3 = 27/3 = 9

證明：69255/3
     = (6×10000 + 9×1000 + 2×100 + 5×10 + 5)/3
     = (6×9999+6 + 9×999+9 + 2×99+2 + 5×9+5 + 5)/3
     = (6×9999 + 9×999 + 2×99 + 5×9)/3 + (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/3

• ±4----最後兩位數可以被4除盡，即是。ex:9898989898540 → 40/4 = 10

 判別是否有$2^a$或$5^a$的因數，取其最後a位，除以$2^a$或$5^a$，可除盡即是。

• ±5----5=$5^1$→查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。(參上)。ex:5454545,45454500,50
  
• ±6----同時符合±2(末位是2,4,6,8,0)和±3(相加可除盡)的條件。(因為6=2×3)ex:66,7986252,99999996
  
• ±8----8=$2^3$→查看他的最後三位數。如果可以被8除盡，即是。(參因數 4)。ex,8000,1256000,95872

 證明：95872/8
     = 95×1000/8 + 872/8
     = 95×125×8/8 + 872/8

• ±9----所有位數加起來為9的倍數，即是。ex:69255→(6 + 9 + 2 + 5 + 5)/9 = 27/9 = 3

 證明：69255/9
     = (6×10000 + 9×1000 + 2×100 + 5×10 + 5)/9
     = (6×9999+6 + 9×999+9 + 2×99+2 + 5×9+5 + 5)/9
     = (6×9999 + 9×999 + 2×99 + 5×9)/9 + (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/9

• ±10---看最後一位數為0即是。ex:530,73500,50
  
• ±11---將其奇數位及偶數位個字相加再相減，如果是0,11等11的倍數，即是。ex:19866/11→1 + 8 + 6 - (9 + 6)=0

 證明：19866/11
     = (1×10000 + 9×1000 + 8×100 + 6×10 + 6)/11
     = (1×9999+1 + 9×1001-9 + 8×99+8 + 6×11-6 + 6)/11
     = (1×9999 + 9×1001 + 8×99 + 6×11)/11 + (1 + 8 + 6 - 9 - 6)/11

• ±12----同時符合±4和±3(相加可除盡)的條件。(因為6=$2^2$×3)ex:60
  

☆判別一個數有沒有合數的因數：把其合數質因數分解，並針對其所有質因數進行判別。若同時符合，即是。

相關條目

• 質數
• 質因數
• 最小公倍數
• 最大公因數