實際數

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實際數practical number)是指一正整數n有許多因數,所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真因數和表示。例如12的真因數有1, 2, 3, 4及6,而1至11的數字中有幾個不是12的真因數,但都可以表示為數個相異真因數的和:5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。

以下是實際數的列表(OEIS中的数列A005153):1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

12,13世紀的義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》(Liber Abaci)中,在說明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數,但其中有一個表,其中有許多分數的分母為實際數[1]

實際數(practical number)一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用,他希望可以找出有這類性質的數字[2],此工作後來在1955年由Stewart和Sierpiński完成[3][4]。利用正整數的質因數分解可以判斷是否是實際數,所有2的幂及偶數的完全數都是實際數。

已發現實際數和質數有許多類似的特質[5][6][7][8]

實際數的充份必要條件[编辑]

一個正整數可以由其質因數分解看出是否是實際數[3][4],一正整數n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k},其中n>1,質因數為p_1<p_2<\dots<p_k,其為實際數若且唯若p_1=2,且對於每個2到k之間的i

p_i\leq1+\sigma(p_1^{\alpha_1}\dots p_{i-1}^{\alpha_{i-1}})=1+\prod_{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{\alpha_j+1}-1}{p_j-1},

其中\sigma(x)x除數函數

例如3 ≤ σ(2)+1 = 4,29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40,及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171,因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606為一實際數。

由於以上條件成立時,才能用其他較小的因數和表示p_i-1,因此是一正數為實際數的必要條件。上述條件也是一正數為實際數的充份條件。

和其他數列的關係[编辑]

所有2的幂都是實際數[2]。2的幂的質因數分解滿足實際數的充份必要條件:第一個質因數為2。所有偶數的完全數也都是實際數[2]:依照歐拉的研究,偶數的完全數可以表示為2n − 1(2n − 1),其奇數的質因數可以用其他偶數部份的除數函數來表示,因此也滿足實際數的充份必要條件。

任一個質數階乘也都是實際數[2]。根據伯特蘭-切比雪夫定理,質數階乘中最大的質數會小於次大質數和最小質數(2)的乘積,因此滿足實際數的充份必要條件。前k個質數幂次的乘積也都是實際數,包括階乘以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金提出的高合成數[2]

和埃及分數的關係[编辑]

n為實際數,則小於1的有理數m/n可以表示∑di/n來表示,其中din的相異因數,此式的每一項都可以化簡為單位分數,因此此式即為m/n埃及分數表示式。例如

\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{20}=\frac12+\frac1{10}+\frac1{20}.

斐波那契在其著作《計算之書》(Liber Abaci)中列出許多用埃及分數表示有理數的方式,首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數,再來則是設法將分子表示為分母因數的和,此方式只在分母為實際數時有效[1]。斐波那契列出了分母為6, 8, 12, 20, 24, 60及100時,分數用埃及分數表示時的表示式。

和質數的類似之處[编辑]

實際數特別的一點是其許多性質都類似質數。例如假設p(x)為小於x實際數的個數,Saias證明存在常數c1c2使得下式成立[8]

c_1\frac x{\log x}<p(x)<c_2\frac x{\log x},

以上公式可以對應素數的素數定理。此證明解答了Margenstern的猜想:存在特定常數c,使得p(x)漸近於cx/log x[6]。也強化了保罗·埃尔德什所提出:實際數在正整數中的密度為0的論點[9]

實際數也有對應哥德巴赫猜想孿生質數猜想的定理:每一個偶數可以表示為二個實際數的和,以及存在無限多個 x − 2, xx + 形式的實際數[7]。Melfi也證明在斐波那契数列中存在無限多個實際數,素數對應的問題是是否存在無限多個斐波那契質數英语Fibonacci prime,此問題仍為開放問題,還沒有被證明,但也還找不到反例。Hausman及Shapiro證明若x為正實數,在[x2,(x + 1)2]區間內存在實際數,可以對應質數中的勒讓德猜想[5]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Sigler, Laurence E. (trans.), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag, 119–121, 2002年, ISBN 0-387-95419-8 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Srinivasan, A. K., Practical numbers, Current Science, 1948年, 17: 179–180, MR 0027799 
  3. ^ 3.0 3.1 Stewart, B. M., Sums of distinct divisors, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1954年, 76 (4): 779–785, doi:10.2307/2372651, JSTOR 2372651, MR 0064800 
  4. ^ 4.0 4.1 Sierpiński, Wacław, Sur une propriété des nombres naturels, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1955年, 39 (1): 69–74, doi:10.1007/BF02410762 
  5. ^ 5.0 5.1 Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N., On practical numbers, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984年, 37 (5): 705–713, doi:10.1002/cpa.3160370507, MR 0752596 
  6. ^ 6.0 6.1 Margenstern, Maurice, Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures, Journal of Number Theory, 1991年, 37 (1): 1–36, doi:10.1016/S0022-314X(05)80022-8, MR 1089787 
  7. ^ 7.0 7.1 Melfi, Giuseppe, On two conjectures about practical numbers, Journal of Number Theory, 1996年, 56 (1): 205–210, doi:10.1006/jnth.1996.0012, MR 1370203 
  8. ^ 8.0 8.1 Saias, Eric, Entiers à diviseurs denses, I, Journal of Number Theory, 1997年, 62 (1): 163–191, doi:10.1006/jnth.1997.2057, MR 1430008 
  9. ^ Erdős, Paul; Loxton, J. H., Some problems in partitio numerorum, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 1979年, 27 (03): 319–331, doi:10.1017/S144678870001243X 

外部連結[编辑]