相亲数

“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”
——毕达哥拉斯

相亲数(Amicable Pair)，又称亲和数、友愛數、友好數，指兩個正整數中，彼此的全部约数之和（本身除外）与另一方相等。

例如220与284：

• 220的全部约数(除掉本身)相加是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
• 284的全部约数(除掉284本身)相加的和是：1+2+4+71+142=220

換句話說，親和數又可以說成是兩個正整數中，一方的全部約數之和與另一方的全部約數之和相等。

• 220的全部約數之和是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
• 284的全部約數之和是：1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504

历史

• 320年左右，古希腊毕达哥拉斯发现的220与284，是人类认识的第一对相亲数．
• 约850年，阿拉伯数学家塔別脫·本·科拉就發現了相亲数公式，後來稱為塔別脫·本·科拉法則。
• 1636年，費馬发现了另一对相亲数：17296和18416。
• 1638年，笛卡儿也发现了一对相亲数：9363584和9437056。
• 欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年，他一口气向公众抛出了60对相亲数：2620和2924，5020和5564，6232和 6368，……，从而引起了轰动。
• 1866年，年方16岁的意大利青年巴格尼发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
• 目前，人们已找到了1200多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对，相亲数的两个数是否都是或同是奇数，或同是偶数，而没有一奇一偶等，这些问题还有待继续探索。

尋找方法

歐拉法則

對於正整數$m,n$，$m<n$，$a=2^m (2^{n-m} + 1) -1$，$b=2^n (2^{n-m}+1) -1$，$c=2^{n+m} (2^{n-m} +1)^2 -1$。若$a,b,c$均為質數，則$2^n \times ab$和$2^n \times c$ 是相親數。這個法則能找出符合親和數的數對$(m,n)=(1,2),(3,4),(6,7),(1,8),(29,40)$，但$n<2500$時沒有其他符合的數對。

塔別脫·本·科拉法則

這是歐拉法則$m=n-1$的特殊情況：第$n$個塔別脫·本·科拉數$K_n = 3 \times 2^n - 1$。若$K_n$、$K_{n-1}$和$3 \times K_{2n-1} + 2$均為質數，則$2^n K_n K_{n-1}$ 和 $2^n \times 3 \times K_{2n-1} + 2$ 是相親數。

一段列出亲和数和完全数的Java程序

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
public class love_num 
{
    public static void main(String[] args) 
    {
        int intMain = 2;
        int intBig = 0;
        try
        {
            intBig = Integer.parseInt(args[0]);
        }
        catch (Exception e)
        {
            System.out.println("error:" + e);
            System.out.println("type command like \"java love_num 50\"");
            return;
        }
        do
        {
            List<Integer> listYakuSu1 = findYakuSu(intMain);
            int intSum1 = addYakuSu(listYakuSu1);
            if ( intSum1 == intMain )
            {
                System.out.println("self num:" + intSum1);
            }
            else
            {
                List<Integer> listYakuSu2 = findYakuSu(intSum1);
                int intSum2 = addYakuSu(listYakuSu2);
                if ( intSum2 == intMain )
                {
                    System.out.println("love num:" + intMain + "--" + intSum1);
                }
            }
            intMain ++;
        } while (intMain <= intBig)
    }
    public static int addYakuSu (List<Integer> listYakuSu)
    {
        int sum = 0;
        for (int i : listYakuSu)
        {
            sum += i;
        }
        return sum;
    }
    public static List<Integer> findYakuSu (int intNum)
    {
        List<Integer> listYakuSu = new ArrayList<Integer>();
        listYakuSu.add (1);
        int intRoot = (int)Math.sqrt(intNum);
        for (int i = 2; i <= intRoot ; i++)
        {
            int intPart = intNum/i;
            if (intPart * i == intNum)
            {
                listYakuSu.add (i);
                if (intPart != i)
                {
                    listYakuSu.add (intPart);
                }
            }
        }
        return listYakuSu;
    }
}

参看

• 相亲数链(交連數)
• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
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