梅森素数

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梅森数是指形如2^n - 1的数,记为M_n;如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数

梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的,他列出了n ≤ 257的梅森素数,不过他错误地包括了不是素数的M67M257,而遗漏了M61M89M107

n合数时,M_n一定为合数。但当n为素数时,M_n不一定皆為素数,比如M_2=2^2-1=3M_3=2^3-1=7是素数,但M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89卻不是素数。

截至2014年2月,已知的梅森素数共有48个。已知最大的梅森素数是2^{57885161}-1[1]。从1997年至今,所有新的梅森素数都是由互联网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现的。

相关命题和定理[编辑]

梅森数和梅森素数的性质[编辑]

  •  M_n = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} - 1
  • 拉馬努金给出:方程Mq = 6+x2q为3、5和7时有三个解;q为合数时有2个解。
  • 如果p是奇素数,那么任何能整除2p − 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。例如,211 − 1 = 23×89,而23 = 1 + 2×11,89 = 1 + 8×11。
  • 如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定与\pm 1 \pmod 8同余。

梅森数和梅森素数的关系[编辑]

下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。

  • 2^{ab}-1=(2^a-1)\times\sum_{i=0}^{b-1}2^{ia}知:q素数Mq素数必要条件。但这不是充分的。M11 = 211 − 1 = 23 × 89是个反例
  • Mq(q是素数)有:
    • aMq的因数,则a有如下性质:
      • a ≡ 1 mod 2q
      • a ≡ ±1 mod 8
    • 欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明:Mq是素数当且仅当存在数对(x,y)使得Mq = (2x)2 + 3(3y)2,其中q ≥ 5。
    • 最近,Bas jansen研究了等式Mq = x2 + dy2(0≤d≤48),得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
    • Reix发现q > 3时,Mq可以写成:Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。显然,若存在一个数对(x,y),那么Mq是素数。

梅森数的素数检验[编辑]

Mn为素数当且仅当Mn整除Sn-2S0=4,Sk = Sk − 12 − 2,k > 0)。

与完全数的关系[编辑]

相关问题和猜想[编辑]

  • 是否有无穷多个梅森素数。
  • 梅森素数如何分布。

寻找梅森素数[编辑]

  • 头四个梅森素数M2M3M5M7在古代就已经知道。
  • 第五个梅森素数M13在1461年之前被发现;
  • 随后的两个(M17M19)在1588年由Cataldi发现。
  • 17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于257的梅森素数,其中错误地包括了不是素数的M67M257,遗漏了M61M89M107。这也是“梅森素数”这个名字的由来。
  • 一个多世纪后的1750年,才由欧拉证实M31是第8个梅森素数。
  • 下一个被发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的M127
  • 1883年,Pervushin证实M61
  • M89M107是在20世纪早期由Powers分别在1911年和1914年发现的。
  • 电子计算机的发明革命化的改进了梅森素数的寻找。第一个成功的例子是M521的证明,它是在莱默指导下,使用R.M. Robinson英语Raphael M. Robinson教授编写的软件,利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学数据分析协会的,属于美国国家标准局的西部自动计算机(SWAC)于1952年1月30日晚上10:00获得。并且在随后不到两小时,下一个梅森素数M607被发现。在随后的几个月裡,使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M1279M2203M2281
  • 到2013年2月,我们知道了48个梅森素数;现在已知最大的素数是梅森素数M57,885,161。像前几个一样,都是由因特网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现的。
  • 2010年7月11日GIMPS项目確認M20,996,011是第40個梅森素数。[2]
  • 2011年12月1日GIMPS项目确认M24,036,583是第41个梅森素数。[2]
  • 2012年12月20日GIMPS项目确认M25,964,951是第42个梅森素数。[2]
  • 2013年1月25日GIMPS项目发现M57,885,161[2]
  • 2014年2月23日GIMPS项目确认M30,402,457是第43个梅森素数。[2]

梅森素数列表[编辑]

下面表中列出了所有已知的梅森素数:OEISA000668

# n Mn Mn的位数 发现日期 发现者 算法
1 2 3 1 公元前5世紀 古希臘数學家
2 3 7 1 公元前5世紀 古希臘数學家
3 5 31 2 公元前3世紀 古希臘数學家
4 7 127 3 公元前3世紀 古希臘数學家
5 13 8191 4 1456年 无名氏 试除法
6 17 131071 6 1588年 Pietro Cataldi 试除法
7 19 524287 6 1588年 Pietro Cataldi 试除法
8 31 2147483647 10 1772年 莱昂哈德·欧拉 优化的试除法
9 61 2305843009213693951 19 1883年 Ivan Mikheevich Pervushin 卢卡斯数列
10 89 618970019642…137449562111 27 1911年 Ralph Ernest Powers 卢卡斯数列
11 107 162259276829…578010288127 33 1914年 Ralph Ernest Powers 卢卡斯数列
12 127 170141183460…715884105727 39 1876年 爱德华·卢卡斯 卢卡斯数列
13 521 686479766013…291115057151 157 1952年1月30日 Raphael M. Robinson英语Raphael M. Robinson 卢卡斯-莱默检验法
14 607 531137992816…219031728127 183 1952年1月30日 Raphael M. Robinson 卢卡斯-莱默检验法
15 1,279 104079321946…703168729087 386 1952年6月25日 Raphael M. Robinson 卢卡斯-莱默检验法
16 2,203 147597991521…686697771007 664 1952年10月7日 Raphael M. Robinson 卢卡斯-莱默检验法
17 2,281 446087557183…418132836351 687 1952年10月9日 Raphael M. Robinson 卢卡斯-莱默检验法
18 3,217 259117086013…362909315071 969 1957年9月8日 Hans Riesel 卢卡斯-莱默检验法
19 4,253 190797007524…815350484991 1,281 1961年11月3日 Alexander Hurwitz 卢卡斯-莱默检验法
20 4,423 285542542228…902608580607 1,332 1961年11月3日 Alexander Hurwitz 卢卡斯-莱默检验法
21 9,689 478220278805…826225754111 2,917 1963年5月11日 Donald B. Gillies 卢卡斯-莱默检验法
22 9,941 346088282490…883789463551 2,993 1963年5月16日 Donald B. Gillies 卢卡斯-莱默检验法
23 11,213 281411201369…087696392191 3,376 1963年6月2日 Donald B. Gillies 卢卡斯-莱默检验法
24 19,937 431542479738…030968041471 6,002 1971年3月4日 布萊恩特·塔克曼 卢卡斯-莱默检验法
25 21,701 448679166119…353511882751 6,533 1978年10月30日 Landon Curt Noll & Laura Nickel 卢卡斯-莱默检验法
26 23,209 402874115778…523779264511 6,987 1979年2月9日 Landon Curt Noll 卢卡斯-莱默检验法
27 44,497 854509824303…961011228671 13,395 1979年4月8日 Harry Nelson & David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
28 86,243 536927995502…209433438207 25,962 1982年9月25日 David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
29 110,503 521928313341…083465515007 33,265 1988年1月28日 Walt Colquitt & Luke Welsh 卢卡斯-莱默检验法
30 132,049 512740276269…455730061311 39,751 1983年9月20日 David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
31 216,091 746093103064…103815528447 65,050 1985年9月6日 David Slowinski 卢卡斯-莱默检验法
32 756,839 174135906820…328544677887 227,832 1992年2月19日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯-莱默检验法
33 859,433 129498125604…243500142591 258,716 1994年1月10日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯-莱默检验法
34 1,257,787 412245773621…976089366527 378,632 1996年9月3日 David Slowinski & Paul Gage 卢卡斯-莱默检验法
35 1,398,269 814717564412…868451315711 420,921 1996年11月13日 GIMPS/Joel Armengaud 卢卡斯-莱默检验法
36 2,976,221 623340076248…743729201151 895,932 1997年8月24日 GIMPS/Gordon Spence 卢卡斯-莱默检验法
37 3,021,377 127411683030…973024694271 909,526 1998年1月27日 GIMPS/Roland Clarkson 卢卡斯-莱默检验法
38 6,972,593 437075744127…142924193791 2,098,960 1999年6月1日 GIMPS/Nayan Hajratwala 卢卡斯-莱默检验法
39 13,466,917 924947738006…470256259071 4,053,946 2001年11月14日 GIMPS/Michael Cameron 卢卡斯-莱默检验法
40 20,996,011 125976895450…762855682047 6,320,430 2003年11月17日 GIMPS/Michael Shafer 卢卡斯-莱默检验法
41 24,036,583 299410429404…882733969407 7,235,733 2004年5月15日 GIMPS/Josh Findley 卢卡斯-莱默检验法
42 25,964,951 122164630061…280577077247 7,816,230 2005年2月18日 GIMPS/Martin Nowak 卢卡斯-莱默检验法
43 30,402,457 315416475618…411652943871 9,152,052 2005年12月15日 GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone 卢卡斯-莱默检验法
44* 32,582,657 124575026015…154053967871 9,808,358 2006年9月4日 GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone 卢卡斯-莱默检验法
45* 37,156,667 202254406890…022308220927 11,185,272 2008年9月6日 GIMPS/Hans-Michael Elvenich 卢卡斯-莱默检验法
46* 42,643,801 169873516452…765562314751 12,837,064 2009年4月12日 GIMPS/Odd M. Strindmo 卢卡斯-莱默检验法
47* 43,112,609 316470269330…166697152511 12,978,189 2008年8月23日 GIMPS/Edson Smith 卢卡斯-莱默检验法
48* 57,885,161 581887266232…071724285951 17,425,170 2013年1月25日 GIMPSCurtis Cooper 卢卡斯-莱默检验法

注:现在还不知道在第43个梅森素数(M30,402,457)和第48个(M57,885,161)之间是否还存在未知梅森素数,所以在其序号之前用*标出。

外部链接[编辑]

参考[编辑]

  1. ^ Chris K. Caldwell. The Largest Known Primes. [2013-11-16] (英文). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 GIMPS Milestones