双重梅森数

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双重梅森数英语double Mersenne number)是指可以用以下形式表示的梅森數

M_{M_n} = 2^{2^n-1}-1

其中n為正整數。

双重梅森数的數列如下

M_{M_1} = M_1 = 1
M_{M_2} = M_3 = 7
M_{M_3} = M_7 = 127
M_{M_4} = M_{15} = 32767
M_{M_5} = M_{31} = 2147483647 OEIS中的数列A077585

雙重梅森質數[编辑]

若雙重梅森數本身也是質數,則稱為雙重梅森質數。由於梅森數Mp為質數的必要條件是p為質數,因此雙重梅森數M_{M_p}為質數的必要條件是M_p為梅森質數。

頭幾個雙重梅森質數如下[1]

M_{M_2} = M_3 = 7
M_{M_3} = M_7 = 127
M_{M_5} = M_{31} = 2147483647
M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 OEIS中的数列A077586).


頭幾個使Mp為質數的p值為p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127(OEIS中的数列A000043)。在p為2, 3, 5, 7時,M_{M_p}為質數,但在p = 13, 17, 19及31時,M_{M_p}不是質數,下一個雙重梅森數M_{M_{61}}還不確定是否是質數,其數值為22305843009213693951 − 1,大約近似1.695×10694127911065419641,目前已知的素性测试無法處理這麼大的數字,已知在小於4×1033的整數中,沒有M_{M_{61}}的質因數。[2]可能除了上述的四個雙重梅森質數外,不存在其他的雙重梅森質數。[1][3]

和大眾娛樂的關係[编辑]

乃出個未來電影版《The Beast with a Billion Backs》中,雙重梅森數M_{M_7}出現在「哥德巴赫猜想的大略證明」中,其中該數字被稱為「火星素數」(martian prime)。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
  2. ^ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(261−1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22.
  3. ^ I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]

延伸閱讀[编辑]

  • Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing, 1971 [1919] .

外部連結[编辑]