冪數

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冪數[1]英语powerful number)也稱為幂次数,是指一正整数n,其所有質因數的平方亦是n因數,換言之,若存在一質因數p,則p2也是n的因數。

冪數可表示為一個平方數立方數的乘積,若ab為正整數(包括1在內),a2b3即為冪數。而平方數及立方數本身(及整數的更高次方)也是冪數。

保羅·艾狄胥喬治·塞凱賴什都曾針對這類數字進行研究,而數學家Solomon W. Golomb將這類的數命名為「powerful number」,「powerful」應該是指數字由許多所組成,但此詞恰巧也有「強大的」、「有力的」的意思。

以下是1000以內冪數的列表:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 (OEIS中的数列A001694)。

數學性質[编辑]

冪數的質因數分解中,各質因數指數均大於1。

冪數的倒數的和為

\prod_p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)

其中

p為所有的質數
\zeta(s)黎曼ζ函數
\zeta(3)阿培里常數[2]

若用k(x)來表示當1≤nx時,冪數n的個數,則k滿足以下的不等式

cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2.173\cdots[2]

佩爾方程x2-8y2=1有無限多個正整數解,因此存在無限多組連續的冪數(若xy為正整數解,則x2及8y2即為二個連續的冪數),其中最小的是8和9[2]。而8和9恰好也是唯一一組連續的次方數卡塔蘭猜想,後來已被數學家普雷達·米哈伊列斯庫證明)。

冪數的和與差[编辑]

每一個奇數都可以表示為二個連續數字的平方的差:(k + 1)2 = k2 + 2k +12,因此 (k + 1)2 - k2 = 2k + 1。而每一個4的倍數都可以表示為二個彼此差2的正整數,其平方的差:(k + 2)2 - k2 = 4k + 4。以上數字均可表示為二平方數的差,因此可就是二個冪數的差。

但無法被4整除的偶數(即奇偶數英语Singly even number)無法表示為二個平方數的差,但不確定是否可表示為二個冪數的差,然而Golomb發現以下的等式

2=33-52
10=133-37
18=192-73=32(33-52)

以上的等式未包括6,Golomb猜想有無窮多個奇偶數無法表示為二個冪數的差,不過後來Narkiewicz發現6也可以表示為二個冪數的差:

6=5473-4632

而且可以找到無限多組的冪數,二個冪數之間的差為6。而McDaniel證明每個整數都有無限多組表示為二個冪數的差的方法[3]

保羅·艾狄胥猜想每一個足夠大的整數均可表示為最多三個冪數的和,後來由Roger Heath-Brown證實了保羅·艾狄胥的猜想[4]

一般化[编辑]

冪數的質因數分解中,所有的指數均不小於2。以此概念再延伸,若一整數的質因數分解中,所有的指數均不小於k,可稱為k-冪數。

(2k+1}-1)k, 2k(2k+1-1)k, (2k+1-1)k+1

是由k-冪數所組成的等差數列,若a1, a2, ..., as是由k-冪數所形成的等差数列,公差為d,則

a1(as+d)k, a2(as+d)k, ..., as(as+d)k, (as+d)k+1

則是由s+1個項k-冪數所組成的等差数列。

以下是一個有關k-冪數的恆等式:

ak(an+...+1)k+ak+1(an+...+1)k+...+ak+n(an+...+1)k=ak(an+...+1)k+1

因此可以找到無窮多組的k-冪數,其個數為n+1個,而這些k-冪數的和也是k-冪數。Nitaj證明了存在無窮多組互質的3-冪數xyz,滿足x+y=z的形式[5]。Cohn找到一個可產生無窮多組互質,且非立方數的3-冪數xyz,可滿足x+y=z的方法:以下的數組

X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511

是方程式32X3 + 49Y3 = 81Z3的解(因此32X3、49Y3及81Z3即為上述的3-冪數數組)。令X′=X(49Y3 + 81Z3), Y′ = −Y(32X3 + 81Z3), Z′ = Z(32X3 − 49Y3),再除以其最大公因數即為一組新的解。

関連項目[编辑]

註解[编辑]

  1. ^ 詞都 幂数
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848--852.
  3. ^ Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85--87.
  4. ^ D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171. Brown, 1987)
  5. ^ *A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.

延伸閱讀[编辑]

  • J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440. [1]
  • P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95--102.
  • Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
  • D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7, Birkhäuser, Boston, 1988.

外部鏈結[编辑]