黎曼ζ函數

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黎曼ζ函數ζ(s)的定義如下: 設一複數s,其實數部份> 1而且:

\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}

在区域{s : Re(s) > 1}上, 此无穷级数收敛并为一全纯函数。(上式中Re表示复数的实部。)。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到s>1。[1] 波恩哈德·黎曼认识到:ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s, s≠ 1)上的全纯函数ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应用统计学中(参看齊夫定律(Zipf's Law)和齊夫-曼德爾布羅特定律(Zipf-Mandelbrot Law)),还有物理,以及调音的数学理论中。

和素数的关系[编辑]

此函数和素数的关系已由欧拉所揭示:

\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

这是一个延展到所有的质数p无穷乘积,被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。

ζ(s)的零点很重要,因为特定的涉及到函数ln(1/ζ(s))的路径积分可以用来估算质数个数函数π(x)。这些路径积分用留数定理计算,所以必须知道被积式的奇异点。

我们可以用莫比乌斯函数μ(n)表达ζ函数的倒数如下

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}

对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ(2)的表达式一起可以用来证明两个随机整数互质的概率是6/π2

函数值[编辑]

黎曼函数在s > 1的情况

ζ函数满足如下函数方程:

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

对于所有C\{0,1}中的s成立。这裡,Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1,ζ函数有一个简单极点留数为1。上述方程中有sin函數,\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)的零點為偶數s = 2n,這些位置是可能的零點,但s為正偶數時,sin(πs/2)Γ(1−s)為不為零的規則函數Regular function),只有s為負偶數時,ζ函数才有零點,稱為平凡零點。

当s为正整数[编辑]

欧拉也能计算ζ(2k),对于偶整数2k,他使用公式

\zeta(2k) = \frac{B_{2k}(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}

其中B2k伯努利数。从这个,我们可以看到ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。(序列A046988/A002432列在OEIS)。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。 s\,为正偶数时的函数值公式已经由欧拉计算出。但当s\,为正奇数时,尚未找到封闭式

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!
这是调和级数
\zeta(3/2) \approx 2.612;\!   (OEIS中的数列A078434
该值用于计算具有周期性边界条件的玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度以及磁系统的自旋波物理。
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!   (OEIS中的数列A013661
巴塞尔问题。这个结果的倒数回答了这个问题:随机选取两个数字而互质的概率是多少?[2]
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!   (OEIS中的数列A002117
称为阿培里常數
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!   (OEIS中的数列A0013662
黑体辐射里的斯特藩-玻尔兹曼定律维恩近似


负整数[编辑]

同样由欧拉发现,ζ函数在负整数点的值是有理数,这在模形式中发挥着重要作用,而且ζ函数在负偶整数点的值為零。

复数值[编辑]

\zeta(x+{\rm{i}}y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(y\ln k) -{\rm{i}}\sin(y\ln k)}{k^x},y\in{\mathbb{R}},x>1。

幅角[编辑]

\arg[\zeta(x+{\rm{i}}y)]=-\arctan\frac{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(y\ln k)}{k^x}}{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(y\ln k)}{k^x}}

函数值表[编辑]

\zeta(-2n_{n\in \mathbb{Z}^+})=0
\zeta(-9)=-\frac{1}{132}
\zeta(-7)=\frac{1}{240}
\zeta(-5)=-\frac{1}{252}
\zeta(-3)=\frac{1}{120}
\zeta(-1)=-\frac{1}{12}
\zeta(0)=-\frac{1}{2}
\zeta(1)=\infty
\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}
\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}
\zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450}
\zeta(10)=\frac{\pi^{10}}{93555}

參考資料[编辑]

  1. ^ Devlin, Keith. The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. New York: Barnes & Noble. 2002: 43–47. ISBN 978-0760786598. 
  2. ^ C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9

參見[编辑]