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黎曼ζ函數

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複平面中一矩形區域之黎曼ζ函數\zeta(z);此圖用Matplotlib程式繪圖產生,使用到定義域上色方法。[1]

黎曼ζ函數ζ(s)的定義如下: 設一複數s,其實數部份> 1而且:

\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}

它亦可以用积分定义:

 \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1} \mathrm{d}x

在区域{s : Re(s) > 1}上, 此无穷级数收敛并为一全纯函数。(上式中Re表示复数的实部。)。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到s>1。[2] 波恩哈德·黎曼认识到:ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s, s≠ 1)上的全纯函数ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应用统计学中(参看齊夫定律(Zipf's Law)和齊夫-曼德爾布羅特定律(Zipf-Mandelbrot Law)),还有物理,以及调音的数学理论中。

历史[编辑]

奥里斯姆[编辑]

ζ函数最早出现于1350年左右,当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散,即
 \zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... \to \infty


欧拉[编辑]

第n个调和数(蓝点)与Log(n)+γ(红线)的图像

之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉,他给出了调和级数呈对数发散。

除此之外,他还在1735年给出了巴塞尔问题的解答,得到
 \zeta(2) = \frac{ \pi ^2}{6}
的结果。欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题中看到,然而那是他的第一个证明,因而广为人知。
事实上,那个证明虽有不严谨之处,但是欧拉仍然有自己的严格证明。[4]

欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\prod_{p} (1-\frac{1}{p^s})^{-1}
这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆,其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中看到。
通过这条公式,容易证明当 \begin{smallmatrix} \operatorname{Re} s > 1 \end{smallmatrix}
时,\begin{smallmatrix} \zeta(s)>0 \end{smallmatrix}

1749年,欧拉通过大胆的计算發現了 [5]
别惊讶,参考这个条目 \zeta(-1)=1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}
\zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...=0
\zeta(-3)=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+...=\frac{1}{120}
发现ζ(s)与ζ(1-s)之间存在某些关系。

黎曼[编辑]

波恩哈德·黎曼对ζ解析延拓,用于素数的分布理论

将欧拉所做的一切牢牢地置于坚石之上的是黎曼,他在1859年的论文论小于给定数值的素数个数英语On_the_Number_of_Primes_Less_Than_a_Given_Magnitude以及未发表的手稿中做出了多项进展: [6]

  • 第三积分表示:  \zeta (s) = \frac{1}{{2\pi i}}\Gamma (1 - s)\oint_\gamma  {\frac{{{z^{s - 1}}{e^z}}}{{1 - {e^z}}}} \, \mathrm{d}z ,其中围道γ逆时针环绕负实轴
第三积分表示的围道γ

阿达马与普森[编辑]

ζ(1+it)的图像,蓝色为实部,黄色为虚部

1896年,雅克·阿达马普森几乎同时地证明了\begin{smallmatrix} \zeta(s) \end{smallmatrix}
的所有非平凡零点的实部均小于1,即\begin{smallmatrix} \operatorname{Re}s=1 \end{smallmatrix}
上无非平凡零点,从而完成了素数定理的证明。

希尔伯特[编辑]

1900年,希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,提出了23道最重要的数学问题,黎曼假设在其中作为第8题出现。
之后,希尔伯特提出了希尔伯特-波利亚猜想,具体时间及场合未知。

玻尔与兰道[编辑]

虚部介于0与T的零点数量(蓝点)与黎曼-冯·曼格尔特公式(红线)的图像

1914年,哈那德·玻爾愛德蒙·蘭道证明了玻爾-蘭道定理:含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点
表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”

哈代与李特尔伍德[编辑]

1921年,哈代李特尔伍德证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为\begin{smallmatrix} KT \end{smallmatrix}

塞尔伯格[编辑]

1942年,阿特勒·塞尔伯格更进一步,证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为\begin{smallmatrix} KT\log T \end{smallmatrix}
这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度,而临界线\begin{smallmatrix} \operatorname{Re}(s)=\frac{1}{2} \end{smallmatrix}
对于临界带\begin{smallmatrix} 0<\operatorname {Re}(s)<1 \end{smallmatrix}
的测度为0

解析延拓[编辑]

对ζ函数解析延拓时使用的围道

ζ函数原本定义在右半平面\begin{smallmatrix} \operatorname{Re}s>1 \end{smallmatrix}
上,并且在此区域内为全纯函数

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1}}{e^x - 1} \, \mathrm{d}x  (\operatorname{Re} s > 1)

解析延拓后在全局具有积分表达式

 \zeta (s) = \frac{1}{{2\pi i}}\Gamma (1 - s)\oint_\gamma  {\frac{{{z^{s - 1}}{e^z}}}{{1 - {e^z}}}} \, \mathrm{d}z

满足函数方程

 \zeta(1-s) = 2 (2 \pi )^{-s} \Gamma(s) \cos(\frac{\pi s}{2}) \zeta(s)

特别地,如果考虑正规化的ζ,即黎曼ξ函数

\xi(s) = \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)

那么它满足函数方程

\xi(s) = \xi(1-s)

和数论函数的关系[编辑]

黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例:

 \operatorname{F}(s) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{f(n)}{n^s}

这种类型的级数被称作狄利克雷级数。当f为狄利克雷特征时,又称作狄利克雷L函数,也有与黎曼猜想相应的广义黎曼猜想

为了方便对数论函数作讨论,此处引入狄利克雷卷积 \begin{smallmatrix} f*g \end{smallmatrix}
(f*g)(n)=\sum _{\text{pq}=n} f(p)g(q)

 \operatorname{F}(s) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{f(n)}{n^s}  \operatorname{G}(s) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{g(n)}{n^s}
于是显然  \operatorname{F}(s) \operatorname{G}(s) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(f*g)(n)}{n^s}

于是,如果数论函数\begin{smallmatrix} h=1*g \end{smallmatrix}
,亦即  h(n) = \sum _{d\|n} g(d) (此时,\begin{smallmatrix} h(n) \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} g(d) \end{smallmatrix}
可通过默比乌斯反演公式相互转换)
那么  \operatorname{H}(s) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{h(n)}{n^s} = \zeta(s) \sum _{n=1}^{\infty } \frac{g(n)}{n^s}
通常两侧的求和有一个是相对简单的函数,或是和\begin{smallmatrix} \zeta(s) \end{smallmatrix}
直接相关的函数
如果对\begin{smallmatrix} g(n) \end{smallmatrix}
的求和较简单,可以将\begin{smallmatrix} h(n) \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} \zeta(s) \end{smallmatrix}
相联系,反之可以将\begin{smallmatrix} g(n) \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} \zeta(s) \end{smallmatrix}
相联系
 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{g(n)}{n^s} = \frac{\operatorname{H}(s)}{\zeta(s)}
如下表所示:

目标函数名 g(n) h(n) G(s)或H(s) g(n)或h(n)与ζ函数的联系
莫比乌斯函数  \mu(n) = \mu(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}) = 
\begin{cases} 
(-1)^k & a_1=a_2=...=a_k \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{cases}  \left \lfloor \frac{1}{n} \right \rfloor \operatorname{H}(s)=1  \operatorname{G}(s) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}
欧拉函数  \varphi(n)=\operatorname{Card} \{ k \, \, | k<n,\, (k,n)=1 \} \quad n  \operatorname{H}(s)=\zeta(s-1)  \operatorname{G}(s)= \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}
除数函数 n^{\alpha}  \sigma_\alpha (n) = \sum _{d|n} d^{\alpha}  \operatorname{G}(s)=\zeta(s- \alpha)  \operatorname{H}(s)= \sum _{n=1}^{\infty } \frac{ \sigma_\alpha (n) }{n^s} = \zeta(s- \alpha) \zeta(s)
刘维尔函数  \mu(n) = \mu(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}) = a_1 + a_2 + ... + a_k  \begin{cases} 
1 & n = m^2 \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{cases}  \operatorname{H}(s) = \zeta(2s)  \operatorname{G}(s)= \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\lambda(n)}{n^s} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}
冯·曼戈尔特函数  \Lambda(n) =
\begin{cases} 
\log(p) & n = p^k \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{cases}  \log n  \operatorname{H}(s)= \zeta'(s)  \operatorname{G}(s) =  \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\Lambda(n)}{n^s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}

佩龙公式[编辑]

ζ函数与数论函数存在的联系可以通过佩龙公式英语Perron's formula转化为它和数论函数的求和的关系:设

 G(s) = {\sum_{n=1}^\infty} g(n)

则由佩龙公式,

 A(x) = {\sum_{n\le x}}' g(n) =\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} G(z)\frac{x^{z}}{z} \, \mathrm{d}z

其中右上角的'表示如果x是整数,那么求和的最后一项要乘以\begin{smallmatrix} \frac{1}{2} \end{smallmatrix}
这样做的其中一个结果就是ζ函数和素数分布的关系。

和素数的关系[编辑]

欧拉乘积[编辑]

此函数和素数的关系已由欧拉所揭示:

\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

这是一个延展到所有的质数p无穷乘积,被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。
如果对上式取对数,则可得到

\log \zeta (s) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} \sum _p p^{-ns}

更进一步的联系[编辑]

黎曼阶梯素数计数函数[编辑]

黎曼素数计数函数(蓝色)J(x)与对数积分(金色)Li(x)的图像,x<300
黎曼素数计数函数(蓝点)J(x)与对数积分(红线)Li(x)的图像,x<1 000 000

可以使用黎曼素数计数函数\begin{smallmatrix} \operatorname{J}(x) \end{smallmatrix}
建立\begin{smallmatrix} \zeta(s) \end{smallmatrix}
与素数分布的进一步联系,这也是黎曼在他的论文论小于给定数值的素数个数英语On_the_Number_of_Primes_Less_Than_a_Given_Magnitude中使用的函数,定义如下:

 \operatorname{J}(x) = \sum_{n \le x} \kappa(n)

其中 \kappa(n) =
\begin{cases} 
\frac{1}{k} & n = p^k \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{cases}
那么可以建立\begin{smallmatrix} \operatorname{J}(x) \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} \zeta(s) \end{smallmatrix}
的零点ρ的联系,称为黎曼显式公式英语Explicit formulae (L-function)


\begin{align}
\operatorname{J}(x) & = \frac{1}{{2 \pi  i}} \int_{c-i \infty }^{c+i \infty } \log \zeta(s) \frac{x^s}{s} \, \mathrm{d}s \\
& = \operatorname{Li}(x) - \sum_{\rho} \operatorname{Li}(x^\rho) + \int_{x}^{\infty} \frac{1}{t(t^2 - 1) \log(t)}\, \mathrm{d}x - \log 2 \\
\end{align}

\begin{smallmatrix} \operatorname{J}(x) \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} \pi(x) \end{smallmatrix}
的联系可以通过莫比乌斯反演公式完成。
 \pi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{J}(x) = \operatorname{J}(x) + \Omicron(\sqrt x \log \log x)
然而\begin{smallmatrix} \operatorname{J}(x) \end{smallmatrix}
的表达式过于复杂,如下的切比雪夫函数英语Chebyshev function更为常用。

切比雪夫函数[编辑]

第二切比雪夫函数(蓝线)ψ(x)与y=x(金线)的图像,x<300
第二切比雪夫函数(蓝点)ψ(x)与y=x(红线)的图像,x<1 000 000

第一切比雪夫函数\begin{smallmatrix} \vartheta(x) \end{smallmatrix}
定义为

 \vartheta(x) = \sum_{p\le x}\log p

而更常用的第二切比雪夫函数\begin{smallmatrix} \psi(x) \end{smallmatrix}
定义为

 \psi(x) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p\le x}\lfloor\log_p x\rfloor\log p

其中,如前文定义的  \Lambda(n) =
\begin{cases} 
\log(p) & n = p^k \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{cases}
第二切比雪夫函数与第一切比雪夫函数的关系,可看做“等同于”黎曼素数计数函数与素数计数函数的关系。
第二切比雪夫函数\begin{smallmatrix} \psi(x) \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} \zeta(s) \end{smallmatrix}
的零点ρ有如下的联系


\begin{align}
\psi(x)  & = \frac{1}{{2 \pi  i}} \int_{c-i \infty }^{c+i \infty } -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \frac{x^s}{s} \, \mathrm{d}s \\
& = \sum_{n \le x} \Lambda(n) = x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho}- \frac{1}{2} \log(1 - \frac{1}{x^2}) - \log(2 \pi) \\
\end{align}

\begin{smallmatrix} \psi(x) \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} \operatorname{J}(x) \end{smallmatrix}
的联系可以通过阿贝尔求和公式英语Abel's_summation_formula

 \psi(x) = \sum_{ n = p^k\le x} \log p =  \psi(x) = \sum_{ n = p^k\le x}\frac{1}{k} \log n =  \sum_{ n \le x}\frac{\kappa(n)}{ \log n }

其中κ如前文所定义,则由阿贝尔求和公式

 \operatorname{J}(x) = \sum_{ n \le x} \kappa(n) = \frac{\psi(x)}{\log x} + \int_{2}^{x} \frac{\psi(t)}{t^2 \log t} \, \mathrm{d}t = \frac{\psi(x)}{\log x} + \Omicron(\frac{x}{\log^2 x})

零点[编辑]

解析延拓之后的ζ函数具有零点,他们分别是分布有序的平凡零点(所有负偶数),以及临界带\begin{smallmatrix} 0<\operatorname{Re}s<1 \end{smallmatrix}
内的非平凡零点。
\begin{smallmatrix} \operatorname{N}(T) \end{smallmatrix}
表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则\begin{smallmatrix} 0<\operatorname{N}(T) \end{smallmatrix}
遵循 黎曼 - 冯·曼戈尔特公式英语Riemann–von Mangoldt formula N(T) = \frac{T}{2 \pi} \log \frac{T}{2 \pi} - \frac{T}{2 \pi} + \Omicron( \log T)

函数值[编辑]

黎曼函数在s > 1的情况

ζ函数满足如下函数方程:

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

对于所有C\{0,1}中的s成立。这裡,Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1,ζ函数有一个简单极点留数为1。上述方程中有sin函數,\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)的零點為偶數s = 2n,這些位置是可能的零點,但s為正偶數時,\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)為不為零的規則函數Regular function),只有s為負偶數時,ζ函数才有零點,稱為平凡零點。

当s为正整数[编辑]

欧拉也能计算ζ(2k),对于偶整数2k,他使用公式

\zeta(2k) = \frac{B_{2k}(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}

其中B2k伯努利数。从这个,我们可以看到ζ(2) = π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。(序列A046988/A002432列在OEIS)。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。 s\,为正偶数时的函数值公式已经由欧拉计算出。但当s\,为正奇数时,尚未找到封闭式

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!
这是调和级数
\zeta(3/2) \approx 2.612;\!   OEISA078434
该值用于计算具有周期性边界条件的玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度以及磁系统的自旋波物理。
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!   OEISA013661
巴塞尔问题。这个结果的倒数回答了这个问题:随机选取两个数字而互质的概率是多少?[7]
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!   OEISA002117
称为阿培里常數
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!   OEISA0013662
黑體輻射裡的斯特藩-玻尔兹曼定律维恩近似

负整数[编辑]

同样由欧拉发现,ζ函数在负整数点的值是有理数,这在模形式中发挥着重要作用,而且ζ函数在负偶整数点的值為零。

复数值[编辑]

\zeta(x+{\rm{i}}y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(y\ln k) -{\rm{i}}\sin(y\ln k)}{k^x},y\in{\mathbb{R}},x>1。

幅角[编辑]

\arg[\zeta(x+{\rm{i}}y)]=-\arctan\frac{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(y\ln k)}{k^x}}{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(y\ln k)}{k^x}}

函数值表[编辑]

\zeta(-2n_{n\in \mathbb{Z}^+})=0
\zeta(-9)=-\frac{1}{132}
\zeta(-7)=\frac{1}{240}
\zeta(-5)=-\frac{1}{252}
\zeta(-3)=\frac{1}{120}
\zeta(-1)=-\frac{1}{12}
\zeta(0)=-\frac{1}{2}
\zeta(1)=\infty
\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}
\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}
\zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450}
\zeta(10)=\frac{\pi^{10}}{93555}

临界线上的数值计算[编辑]

临界线上的数值计算可以通过黎曼-西格尔公式英语Riemann–Siegel formula完成
与之相关的,林德勒夫猜想英语Lindelöf hypothesis:对于任意给定的整数\begin{smallmatrix} \epsilon>0 \end{smallmatrix}

\zeta(\frac{1}{2}+it)=\Omicron(t^{\epsilon})

參考資料[编辑]

  1. ^ http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
  2. ^ Devlin, Keith. The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. New York: Barnes & Noble. 2002: 43–47. ISBN 978-0760786598. 
  3. ^ Tom M.Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. 北京: 世界图书出版公司北京公司. 2012年1月: 55 – 56. ISBN 978-7-5100-4062-7 (英语). "Theorem 3.2 If  x \ge 1 we have :" 
  4. ^ 御坂01034. 巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法. 
  5. ^ 加藤和也 黑川信重 斎藤毅. 数论I. 北京: 高等教育出版社. 2009年6月: 197–199. ISBN 978-7-04-026360-2 (中文). "短暂的沉默被打破了..." 
  6. ^ 加藤和也 黑川信重 斎藤毅. 数论I. 北京: 高等教育出版社. 2009年6月: 209–210. ISBN 978-7-04-026360-2 (中文). "Riamann对ζ研究的全部内容..." 
  7. ^ C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9

相關條目[编辑]