黎曼ζ函數

黎曼ζ函數ζ(s)的定義如下： 設一複數s，其實數部份> 1而且：

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}$

在区域{s : Re(s) > 1}上， 此无穷级数收敛并为一全纯函数。（上式中Re表示复数的实部。）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。 波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s, s≠ 1）上的全纯函数ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学中（参看齊夫定律（Zipf's Law）和齊夫-曼德爾布羅特定律（Zipf-Mandelbrot Law）），还有物理，以及调音的数学理论中。

和素数的关系

此函数和素数的关系已由欧拉所揭示：

$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$

这是一个延展到所有的质数p的无穷乘积，被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。

ζ(s)的零点很重要，因为特定的涉及到函数ln(1/ζ(s))的路径积分可以用来估算质数个数函数π(x)。这些路径积分用留数定理计算，所以必须知道被积式的奇异点。

我们可以用莫比乌斯函数μ(n)表达ζ函数的倒数如下

$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}$

对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ(2)的表达式一起可以用来证明两个随机整数互质的概率是6/π²。

函数值

黎曼函数在 s > 1的情况

ζ函数满足如下函数方程：

$\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$

对于所有C\{0,1}中的s成立。这裡，Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函數，$\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)$的零點為偶數s = 2n，這些位置是可能的零點，但s為正偶數時，sin(πs/2)Γ(1−s)為不為零的規則函數，只有s為負偶數時，ζ函数才有零點，稱為平凡零點。

当s为正整数

欧拉也能计算ζ(2k)，对于偶整数2k，他使用公式

$\zeta(2k) = \frac{B_{2k}(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}$

其中B_2k是伯努利数。从这个，我们可以看到ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945等等。(序列A046988/A002432列在OEIS)。这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。 $s\,$为正偶数时的函数值公式已经由欧拉计算出。但当$s\,$为正奇数时，尚未找到封闭式。

$\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!$

这是调和级数。

$\zeta(3/2) \approx 2.612;\!$   （OEIS中的数列A078434）

该值用于计算具有周期性边界条件的玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度以及磁系统的自旋波物理。

$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!$   （OEIS中的数列A013661）

即巴塞尔问题。这个结果的倒数回答了这个问题：随机选取两个数字而互质的概率是多少？

$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!$   （OEIS中的数列A002117）

称为阿培里常數。

$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!$   （OEIS中的数列A0013662）

黑体辐射里的斯特藩－玻尔兹曼定律和维恩近似。

负整数

同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ函数在负偶整数点的值為零。

复数值

$\zeta(x+{\rm{i}}y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(y\ln k) -{\rm{i}}\sin(y\ln k)}{k^x},y\in{\mathbb{R}}$，x＞1。

幅角

$\arg[\zeta(x+{\rm{i}}y)]=-\arctan\frac{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(y\ln k)}{k^x}}{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(y\ln k)}{k^x}}$，

函数值表

$\zeta(-3)=\frac{1}{120}$，

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$，

$\zeta(1)=\infty$，

$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$，

$\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$，

$\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}$，

$\zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450}$，

$\zeta(10)=\frac{\pi^{10}}{93555}$，

$s$，	$\zeta(s)$，
$-2n_{n\in \mathbb{Z}^+}$	$0$
$-9$，	$-\frac{1}{132}$
$-7$，	$\frac{1}{240}$
$-5$，	$\frac{1}{252}$

参看

• 黎曼猜想