Γ函数

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

\Gamma \,函数,也叫做伽瑪函數(Gamma函数),是階乘函數在實數與複數上的擴展。對於實數部份為正的複數z,伽瑪函數定義為:

 \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t} \,{\rm{d}}t

此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上,非正整數除外。

如果n為正整數,則伽瑪函數定義為:

 \Gamma(n) = (n-1)!

這顯示了它與階乘函數的聯繫。可見,伽瑪函數將n拓展到了實數與複數域上。

概率論中常見此函數,在組合數學中也常見。

定義[编辑]

\Gamma \,函數可以通过欧拉(Euler)第二类积分定義:

\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}\rm{d}t

对复数z\,,我们要求\mathrm{Re}(z) > 0

\Gamma函數还可以通过对\mathrm{e}^{-t}\,做泰勒展开,解析延拓到整个复平面: \Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}

这样定义的\Gamma函數在全平面除了z=0,-1,-2,\ldots以外的地方解析。

\Gamma函數也可以用无穷乘积的方式表示:

\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{z}{n})^{-1}(1+\frac{1}{n})^{z}

这样定义的\Gamma函數在全平面解析

無窮乘積[编辑]

\Gamma\,函數可以用無窮乘積表示:

\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}
\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}

其中\gamma\,欧拉-马歇罗尼常数

\Gamma積分[编辑]

1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha \mathrm{e}^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x

\Rightarrow
\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha}
=
\int_{0}^{\infty}
x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x} {\rm{d}}x

递推公式[编辑]

 \Gamma \,函数的递推公式为:  \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

对于正整数n\,,有

 \Gamma(n+1)=n!

可以说 \Gamma \,函数是階乘的推廣。

递推公式的推导[编辑]

\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x

我们用分部积分法来计算这个积分:

\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x

x=0 \,时,\frac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \frac{0}{1} = 0。当x \,趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0.

因此第一项\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty 变成了零,所以:

\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x

等式的右面正好是n \Gamma(n)\,。因此,递推公式为:

{\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,

重要性质[编辑]

Γ函數在實軸上的函數圖形
  • z\to 0^+時,\Gamma(z)\to+\infty
  • 歐拉反射公式:
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)
由此可知当\ z=\frac{1}{2}时,\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}
  • 乘法定理:
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz)
  • 補充:

\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!\sqrt{\pi}}{n!4^n} 此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F \,分布機率密度函數等的累計機率。

特殊值[编辑]

\begin{alignat}{3}
\Gamma(-\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &&\approx 2.363271801207 \\
\Gamma(-1) & = (-2)! && = \infty \\
\Gamma(-\tfrac{1}{2}) & = -2\sqrt{\pi} &&\approx -3.544907701811 \\
\Gamma(0) & = (-1)! && = \infty \\
\Gamma(\tfrac{1}{2}) & = \sqrt{\pi} &&\approx 1.772453850905 \\
\Gamma(1) & = 0! && = 1 \\
\Gamma(\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &&\approx 0.88622692545 \\
\Gamma(2) & = 1! &&= 1 \\
\Gamma(\tfrac{5}{2}) & = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &&\approx 1.32934038818 \\
\Gamma(3) & = 2! &&= 2 \\
\Gamma(\tfrac{7}{2}) & = \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &&\approx  3.32335097045\\
\Gamma(4) & = 3! &&= 6 
\end{alignat}

导数[编辑]

\frac{\rm{d}}{\mathrm{d} z}\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}\ln t}{\mathrm{e}^t}\,{\rm{d}}t

复数值[编辑]

\Gamma(x+{\rm{i}}y)=\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\cos (y\ln t){\rm{d}}t+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\left[\frac{k}{(k+x)^2+y^2}+\frac{x}{(k+x)^2+y^2}\right]+{\rm{i}}\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\sin (y\ln t){\rm{d}}t-y\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k![(k+x)^2+y^2]}\right\}\,

斯特靈公式[编辑]

斯特靈公式能用以估計\Gamma函数的增長速度。

解析延拓[编辑]

Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在\Gamma函數的積分定義中若取z \,為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1)

並注意到函數\sin (\pi z) \,在整個複平面上有解析延拓,我們可以在\mathrm{Re}(z)<1時設

 \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}

從而將\Gamma \,函數延拓為整個複平面上的亞純函數,它在z=0,-1,-2,-3\cdots有單極點,留數為

\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}

参见[编辑]

如何利用EXCEL求伽玛函数的值[编辑]

  • 利用EXCEL中的GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意数的伽玛函数的值。
  • 举例:EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89298

外部链接[编辑]