导数列表

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

以下的列表列出了许多函数导数fg是可微函数,而别的皆为常数。用这些公式,可以求出任何初等函数的导数。

一般求导法则[编辑]

线性
{\mbox{d}Mf\over\mbox{d}x}=M{\mbox{d}f\over\mbox{d}x}
{{\mbox{d}(f\pm g)}\over{\mbox{d}x}}={\mbox{d}f\over\mbox{d}x}\pm{\mbox{d}g\over\mbox{d}x}\
乘法定则
{\mbox{d}fg\over\mbox{d}x}={\mbox{d}f\over\mbox{d}x}g+f\frac{\mbox{d}g}{\mbox{d}x}
倒数定则
\frac{\mbox{d}\dfrac{1}{f}}{\mbox{d}x}=\frac{-\dfrac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}}{f^2}
除法定则
\frac{\mbox{d}\dfrac{f}{g}}{\mbox{d}x}=\frac{\dfrac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}g-f\dfrac{\mbox{d}g}{\mbox{d}x}}{g^2}\qquad(g\ne0)
复合函数求导法则
(f \circ g)' = (f' \circ g)g'
\frac{\mbox{d}f(g(x))}{\mbox{d}x}=\frac{\mbox{d}f(g)}{\mbox{d}g}\frac{\mbox{d}g}{\mbox{d}x}
反函数的导数
由於g(f(x))=x,故g(f(x))'=1,根據复合函数求导法则,則(g' \circ f) \times f'=1
所以f'=\frac{1}{g' \circ f}
同理g'=\frac{1}{f' \circ g}
广义幂法则
(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)

代数函数的导数[编辑]

(n为任意实常数)
{\mbox{d}M\over\mbox{d}x}=0
{\mbox{d}x^n\over\mbox{d}x}=nx^{n-1}\qquad x\ne0
{\mbox{d}|x|\over\mbox{d}x}={x\over|x|}=\sgn x\qquad x\ne0

指数对数函数的导数[编辑]


\begin{align}
\frac{\mbox{d}e^x}{\mbox{d}x}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{e^x-e^{x-\Delta x}}{\Delta x}\\
&=e^x\lim_{\Delta x\to0}\frac{1-e^{-\Delta x}}{\Delta x}\\
&=e^x
\end{align}

\begin{align}
\frac{\mbox{d}\ \alpha^x}{\mbox{d}x}&=\frac{\mbox{d}\ e^{x\!\ln\!\alpha}}{\mbox{d}x}\\
&=\frac{\mbox{d}e^{x\!\ln\!\alpha}}{\mbox{d}\ x\!\ln\!\alpha}\cdot\frac{\mbox{d}\ x\!\ln\!\alpha}{\mbox{d}x}\\
&=e^{x\!\ln\!\alpha}\!\ln\!\alpha\\
&=\alpha^x\!\ln\!\alpha
\end{align}
\frac{\mbox{d}\ln|x|}{\mbox{d}x}={1\over x}
\frac{\mbox{d}\log_\alpha|x|}{\mbox{d}x}={1\over\ln\alpha}\frac{\mbox{d}\ln|x|}{\mbox{d}x}={1\over x\ln\alpha}
\frac{dx^x}{dx}=x^x(1+\ln x)

三角函数的导数[编辑]

 (\sin x)' = \cos x \,  (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,
 (\cos x)' = -\sin x \,  (\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,
 (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} \,  (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,
 (\sec x)' = \sec x \tan x \,  (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,
 (\csc x)' = -\csc x \cot x \,  (\arccsc x)' = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,
 (\cot x)' = -\csc^2 x = -{ 1 \over \sin^2 x} \,  (\arccot x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,

双曲函数的导数[编辑]

( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} (\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} (\operatorname{arcosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}} (x > 1)
(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x (\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2} (|x| < 1)
(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x (\operatorname{arsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x (\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}
(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x (\operatorname{arcoth}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2} (|x| > 1)

特殊函数的导数[编辑]

伽玛函数

\frac{\mbox{d}\Gamma(x)}{\mbox{d}x}=\int^\infty_0e^{-t}t^{x-1}\ln\!t\mbox{d}t