向量分析

向量微積分(Vector calculus)或向量分析(Vector Analysis)是數學的分支，關心擁有兩個維度或以上的向量的多元實分析。它有一套方程式及難題處理技巧，對物理學及工程學特別有幫助。

我們考慮到向量場時把向量聯繫到空間裡的每一個點，考慮到純量場時把純量連繫到空間裡的每一個點。例如：游泳池的水溫是純量場；游泳池的水流是向量場。

[编辑] 向量算子

算子	表示	敘述	界域
梯度	$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$	純量場f改變的速率與方向	純量場的梯度是向量場
旋度	$\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}$	向量場F傾向繞著一個點旋轉的程度	向量場的旋度是向量場
（發）散度	$\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$	向量場F傾向源於一點的程度	向量場的散度是純量場
拉普拉斯算子	$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$	為散度與梯度算子的組成	純量場的拉普拉斯是純量場

定理	表示	註解
梯度定理（線積分基本定理）	$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f \left( \mathbf{q} \right) - f \left( \mathbf{p} \right)$	C為一平滑曲線。
格林定理	$\oint_{C} P\, dx + Q\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy$	在封閉曲線C上所做的線積分，等於在區域D所的積分。
高斯散度定理（散度基本定理）	$\iiint_V\boldsymbol{\mathit{\nabla\!\cdot\! F}}\,dxdydz= \iint_{\partial V} \boldsymbol{\mathit{F}}\!\cdot\!\boldsymbol{\mathit{n}}\,dS$
斯托克斯定理（旋度基本定理）	$\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},$