麦克斯韦方程组

詹姆斯·馬克士威

馬克士威方程組（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·馬克士威在19世纪建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的偏微分方程。它由四個方程式組成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的馬克士威-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。

從馬克士威方程組，可以推論出光波是電磁波。馬克士威方程組和勞侖茲力方程式是經典電磁學的基礎方程式。從這些基礎方程式的相關理論，發展出現代的電力科技與電子科技。

馬克士威1865年提出的最初形式的方程組由20个等式和20个变量组成。他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。現在所使用的数学形式是奧利弗·黑維塞和約西亞·吉布斯於1884年以向量分析的形式重新表达的。

概論

馬克士威方程組乃是由四個方程式共同組成的：

• 高斯定律描述電場是怎樣由電荷生成。電場線開始於正電荷，終止於負電荷。計算穿過某給定閉曲面的電場線數量，即其電通量，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說，這定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內的電荷之間的關係。
• 高斯磁定律表明，磁單極子實際上並不存在於宇宙。所以，沒有磁荷，磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成迴圈或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區域的磁場線，必需從那區域離開。以術語來說，通過任意閉曲面的磁通量等於零，或者，磁場是一個螺線向量場。
• 法拉第感應定律描述含時磁場怎樣生成（感應出）電場。電磁感應在這方面是許多發電機的運作原理。例如，一塊旋轉的條形磁鐵會產生含時磁場，這又接下來會生成電場，使得鄰近的閉迴圈因而感應出電流。
• 馬克士威-安培定律闡明，磁場可以用兩種方法生成：一種是靠電流（原本的安培定律），另一種是靠含時電場（馬克士威修正項）。在電磁學裏，馬克士威修正項意味著含時電場可以生成磁場，而由於法拉第感應定律，含時磁場又可以生成電場。這樣，兩個方程式在理論上允許自我維持的電磁波傳播於空間（更詳盡細節，請參閱條目電磁波方程式）。

方程組彙覽

採用不同的單位制，馬克士威方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數會出現在方程式內部不同位置。國際單位制是最常使用的單位制，整個工程學領域都採用這種單位制，大多數化學家也都使用這種單位制，大學物理教科書幾乎都採用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、勞侖茲-黑維塞單位制（Lorentz-Heaviside units）和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合於教學用途，能夠使得方程式看起來更簡單、更易懂。稍後會詳細闡述高斯單位制。勞侖茲-黑維塞單位制也是衍生於厘米-克-秒制，主要用於粒子物理學；普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據大自然的性質定義，不是由人為設定。普朗克單位制是研究理論物理學非常有用的工具，能夠給出很大的啟示。在本段落裏，所有方程式都採用國際單位制。

這裏展示出馬克士威方程組的兩種等價表述。第一種表述將自由電荷和束縛電荷總和為高斯定律所需要的總電荷，又將自由電流、束縛電流和電極化電流總合為馬克士威-安培定律內的總電流。這種表述採用比較基礎、微觀的觀點。這種表述可以應用於計算在真空裏有限源電荷與源電流所產生的電場與磁場。但是，對於物質內部超多的電子與原子核，實際而言，無法一一納入計算。事實上，經典電磁學也不需要這麼精確的答案。

第二種表述以自由電荷和自由電流為源頭，而不直接計算出現於介電質的束縛電荷和出現於磁化物質的束縛電流和電極化電流所給出的貢獻。由於在一般實際狀況，能夠直接控制的參數是自由電荷和自由電流，而束縛電荷、束縛電流和電極化電流是物質經過極化後產生的現象，採用這種表述會使得在介電質或磁化物質內各種物理計算更加簡易。

需要注意的是：麦克斯韦方程组中有B、E两个矢量未知量，共6个未知分量；方程个数是8个（散度是标量，所以两个高斯定律是两个方程；旋度是矢量，法拉第电磁感应定律和安培定律是6个方程；加起来共8个方程。），两者并不相等。

微觀馬克士威方程組表格

以總電荷和總電流為源頭的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$	$\int\!\!\!\!\int_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\int\!\!\!\!\int_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0$
法拉第感應定律	$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{B}}{\mathrm{d} t}$
馬克士威-安培定律	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\$	$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{E}}{\mathrm{d} t}$

宏觀馬克士威方程組表格

以自由電荷和自由電流為源頭的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f$	$\int\!\!\!\!\int_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf D\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_{f}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\int\!\!\!\!\int_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0$
法拉第感應定律	$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = - \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{B}}{\mathrm{d} t}$
馬克士威-安培定律	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = I_{f} + \frac {\mathrm{d} \Phi_\mathbf{D}}{\mathrm{d} t}$

馬克士威方程組術語符號表格

以下表格給出每一個符號所代表的物理意義，和其單位：

物理意義和單位

符號	物理意義	國際單位
$\mathbf{E} \$	電場	伏特／公尺，牛頓／庫侖
$\mathbf{B} \$	磁感應強度	特斯拉，韋伯／公尺2，伏特·秒／公尺2
$\mathbf{D} \$	電位移	庫侖／公尺2，牛頓／伏特·公尺
$\mathbf{H} \$	磁場強度	安培／公尺
$\mathbf{\nabla \cdot}$	散度算符	／公尺
$\mathbf{\nabla \times}$	旋度算符
$\frac {\partial}{\partial t}$	對於時間的偏導數	／秒
$\mathbb{S}$	曲面積分的運算曲面	公尺2
$\mathbb{L}$	路徑積分的運算路徑	公尺
$\mathrm{d}\mathbf{s}$	微小面元素向量	公尺2
$\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}$	微小線元素向量	公尺
$\varepsilon_0 \$	電常數	法拉／公尺
$\mu_0 \$	磁常數	亨利／公尺，牛頓／安培2
$\ \rho_f \$	自由電荷密度	庫侖／公尺3
$\ \rho \$	總電荷密度	庫侖／公尺3
$Q_f$	在閉曲面 $\mathbb{S}$ 裏面的自由電荷	庫侖
$Q$	在閉曲面 $\mathbb{S}$ 裏面的總電荷	庫侖
$\mathbf{J}_f$	自由電流密度	安培／公尺2
$\mathbf{J}$	總電流密度	安培／公尺2
$I_f$	穿過閉路徑 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面的自由電流	安培
$I$	穿過閉路徑 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面的總電流	安培
$\Phi_{B}$	穿過閉路徑 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面 $\mathbb{S}$ 的磁通量	特斯拉·公尺2，伏特·秒，韋伯
$\Phi_{E}$	穿過閉路徑 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面 $\mathbb{S}$ 的電通量	焦耳·公尺/庫侖
$\Phi_{D}$	穿過閉路徑 $\mathbb{L}$ 所包圍的曲面 $\mathbb{S}$ 的電位移通量	庫侖

微觀尺度與宏觀尺度

馬克士威方程組通常應用於各種場的“宏觀平均”。当尺度縮小至微观（microscopic scale），以至于接近單獨原子大小的時侯，這些場的局部波动差异将变得无法忽略，量子現象也會開始出現。只有在宏觀平均的前提下，物理量像物質的電容率和磁導率才會得到有意義的定義值。

最重的原子核的半徑大約為7飛米（7× 10⁻¹⁵公尺）。所以，在經典電磁學裏，微觀尺度指的是尺寸的數量級大於10⁻¹⁴公尺。滿足微觀尺度，電子和原子核可以視為點電荷，微觀馬克士威方程組成立；否則，必需將原子核內部的電荷分佈納入考量。在微觀尺度計算出來的電場與磁場仍舊變化相當劇烈，空間變化的距離數量級小於10⁻¹⁰公尺，時間變化的週期數量級在10⁻¹⁷至10⁻¹³秒之間。因此，從微觀馬克士威方程組，必需經過經典平均運算，才能得到平滑、連續、緩慢變化的宏觀電場與宏觀磁場。宏觀尺度的最低極限為10⁻⁸公尺。這意味著電磁波的反射與折射行為可以用宏觀馬克士威方程組來描述。以這最低極限為邊長，體積為10⁻²⁴立方公尺的立方體大約含有10⁶個原子核和電子。這麼多原子核和電子的物理行為，經過經典平均運算，足以平緩任何劇烈的漲落。根據可靠文獻記載，經典平均運算只需要在空間作平均運算，不需要在時間作平均運算，也不需要考慮到原子的量子效應。

經典平均運算是一種比較簡單的平均程序，給定函數 $F(\mathbf{r}, t)$ ，這函數的空間平均定義為

$F(\mathbf{r}, t)=\int_{\mathbb{V}}w(\mathbf{r}')F(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t)\ \mathrm{d}^3 r'$ ；

其中，$\mathbb{V}$ 是平均運算的空間，$w(\mathbf{r}')$ 是權重函數。

有很多種函數可以選為優良的權重函數 $w(\mathbf{r}')$ ，例如，高斯函數：

$w(\mathbf{r})=\frac{1}{(\pi R^2)^{3/2}} e^{-r^2/R^2}$ 。

最早出現的馬克士威方程式和其相關理論是為宏觀物質設計的，是一種現象學。在那時候，物理學者並不清楚造成電磁現象的基本原因。後來，按照物質的粒子繪景，才推導出微觀馬克士威方程式。二十世紀前半期，在量子力學、相對論、與粒子物理學領域的突破與發展，其嶄新理論與微觀馬克士威方程組相結合，成為建立量子電動力學的關鍵基石。這是物理學中最準確的理論，所計算出的結果能夠精確地符合實驗數據。

證明兩種表述等價

前面所論述的馬克士威方程組的兩種表述，在數學上是等價的。

兩種高斯定律數學等價的證明

本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式 $\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ ， 等價於高斯定律對於自由電荷的方程式 $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{f}$ 。 請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據散度定理，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。 電位移 $\mathbf{D}$ 的定義式為 $\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$ ； 其中，$\mathbf{P}$ 是電極化強度。 束縛電荷密度 $\rho_{bound}$ 的定義式為（請參閱電極化） $\rho_{bound}\ \stackrel{def}{=}\ - \nabla\cdot \mathbf{P}$ 。 注意到 $\rho$ 是總電荷密度： $\rho =\rho_{f}+\rho_{bound}=\rho_{f} - \nabla\cdot \mathbf{P}=\rho_{f} - \nabla\cdot\mathbf{D}+\varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}$ 。 稍加編排， $\rho- \varepsilon_0\nabla\cdot \mathbf{E}=\rho_{f} - \nabla\cdot\mathbf{D}$ 。 所以，$\nabla\cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ 若且唯若 $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{f}$ 。兩個方程式等價。

兩種馬克士威-安培定律數學等價的證明

本段落證明馬克士威-安培定律對於總電流的方程式 $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\$ ， 等價於馬克士威-安培定律對於自由電流的方程式 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ 。 請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件，因為，根據斯托克斯定理，對於這兩種馬克士威-安培定律的方程式，微分形式都分別等價於積分形式。 束縛電流密度 $\mathbf{J}_{bound}$ 的定義式為（請參閱磁化強度） $\mathbf{J}_{bound}\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times \mathbf{M}$ ； 其中，$\mathbf{M}$ 是磁化強度。 假設總電流密度 $\mathbf{J}$ 是 $\mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \mathbf{J}_{bound}$ 。 根據電荷守恆定律， $\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} =0$ 、 $\nabla\cdot\mathbf{J}_f+\frac{\partial \rho_f}{\partial t} =0$ 。 那麼， $\begin{align} \nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} & =\nabla\cdot\mathbf{J}_f + \nabla\cdot\mathbf{J}_{bound}+\frac{\partial \rho_f}{\partial t}+\frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t} \\ & = \nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{M})+\frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t} \\ & =\frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t} \\ \end{align}$ 。 假若束縛電荷密度 $\rho_{bound}$ 相依於時間，則電荷守恆定律無法被滿足。為了要滿足這定律，總電流密度必須加入一個項目，電極化電流密度 $\mathbf{J}_p$ ，定義為： $\mathbf{J}_p\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ 。 那麼， $\nabla\cdot \mathbf{J}_p =\nabla\cdot\left(\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}\right)= - \frac{\partial \rho_{bound}}{\partial t}$ 。 因此，總電流密度 $\mathbf{J}$ 是 $\mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \mathbf{J}_{bound}+\mathbf{J}_p= \mathbf{J}_f +\nabla\times \mathbf{M}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ 。 磁場強度 $\mathbf{H}$ 定義為 $\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}$ 。 稍加編排， $\begin{align}\nabla\times\mathbf{H}-\mathbf{J}_f -\ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} & =\frac{1}{\mu_0} \left(\nabla\times\mathbf{B}- \mu_0\nabla\times\mathbf{M}-\mu_0\mathbf{J}_f -\ \mu_0\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right) \\ & =\frac{1}{\mu_0} \left(\nabla\times\mathbf{B}- \mu_0\nabla\times\mathbf{M}-\mu_0\mathbf{J}_f -\mu_0\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \\ & =\frac{1}{\mu_0} \left(\nabla\times\mathbf{B}- \mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \\ \end{align}$ 。 所以，$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$ 若且唯若 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ 。兩個方程式等價。

歷史

雖然有些歷史學家認為馬克士威並不是現代馬克士威方程組的原創者，在建立分子渦流模型的同時，馬克士威的確獨自地推導出所有相關的方程式。現代馬克士威方程組的四個方程式，都可以在馬克士威的1861年論文《論物理力線》、1865年論文《電磁場的動力學理論》和於1873年發行的名著《電磁通論》的第二冊，第四集，第九章"電磁場的一般方程式"裏，找到可辨認的形式，儘管沒有任何向量標記和梯度符號的蛛絲馬跡。這本往後物理學生必讀的教科書的發行日期，早於黑維塞、海因里希·赫茲等等的著作。

馬克士威方程組的演化

馬克士威方程組這術語原本指的是馬克士威於1865年在論文《電磁場的動力學理論》提出的一組八個方程式。但是，現在常見的馬克士威方程組，乃是經過黑維塞於1884年編排修改而成的四個方程式。同時期，約西亞·吉布斯和赫茲分別都研究出類似的結果。有很久一段時間，這些方程式被總稱為赫茲-黑維塞方程組、馬克士威-赫茲方程組或馬克士威-黑維塞方程組 。

馬克士威寫出的這些方程式，對於電磁學的貢獻，主要是在他1861年的論文《論物理力線》內，他將位移電流項目加入了安培定律，將安培定律修改成馬克士威-安培定律。這添加的項目使他後來在論文《電磁場的動力學理論》中，能夠推導出電磁波方程式，在理論上證明了光波就是電磁波。

馬克士威認為位勢變量（電勢和磁向量勢）是他的方程組的中心概念。對於這想法，黑維塞強烈地駁斥，認為位勢屬於形上學的概念，只有電場和磁場才是最基礎、最實際的物理量。他試著除去方程組內的位勢變量。黑維塞努力研究的結果是一雙對稱的方程式：

$\mathbf{J}_H= \nabla\times \mathbf{H}$ 、

$\mathbf{M} = - \nabla\times \mathbf{E}$ ；

其中，$\mathbf{J}_H$ 是包括位移電流密度在內的總電流密度，$\mathbf{H}$ 是磁場強度，$\mathbf{E}$ 是電場，$\mathbf{M}$ 是總磁流密度。

總磁流密度 $\mathbf{M}$ 定義為

$\mathbf{M}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+\mathbf{m}_c$ ；

其中，$\mathbf{B}$ 是磁場，$\mathbf{m}_c$ 是磁荷的運動所產生的磁流。

到現在為止，由於物理學家還沒有找到任何磁粒子，$\mathbf{m}_c$ 可以設定為零。

論文《論法拉第力線》

在那時期的電磁學可以形容為眾多實驗結果和數學分析的大雜燴，急需整合成一套內外一致，有條有理的學術理論。裝備著劍橋大學物理系對於物理學生精心栽培的比擬能力，馬克士威試圖創建一個能夠描述各種電磁現象的模型。在他的1855年論文《論法拉第力線》裏，馬克士威將法拉第想出的力線延伸為裝滿了不可壓縮流體的「力管」。這力管的方向代表力場（電場或磁場）的方向，力管的截面面積與力管內的流體速度成反比，而這流體速度可以比擬為電場或磁場。既然電場或磁場能夠比擬為流體速度，當然可以要求電場或磁場遵守流體力學的部分理論。那麼，借用流體力學的一些數學框架，即可推導出一系列初成形的電磁學雛論。

論文《論物理力線》

分子渦流模型示意圖：均勻磁場的磁力線從顯示器往外指出，以黑色矢點表示。六角形分子的渦流方向呈反時針方向。綠色圓球代表圓粒，旋轉方向呈順時針方向。

1861年，馬克士威在發表的一篇論文《論物理力線》裏，提出了「分子渦流模型」。由於法拉第效應顯示出，在通過介質時，偏振光波會因為外磁場的作用，轉變偏振的方向，因此，馬克士威認為磁場是一種旋轉現象。在他設計的「分子渦流模型」裏，他將力線延伸為「渦流管」。許多單獨的「渦胞」（渦旋分子）組成了一條條的渦流管。在這渦胞內部，不可壓縮流體繞著旋轉軸以均勻角速度旋轉。由於離心力作用，在渦胞內部的任意微小元素會感受到不同的壓力。知道這壓力的分佈，就可以計算出微小元素感受到的作用力。透過分子渦流模型，馬克士威詳細地分析與比擬這作用力內每一個項目的物理性質，合理地解釋各種磁場現象和其伴隨的作用力。

馬克士威對於分子渦流模型提出幾點質疑。假設鄰近兩條磁力線的渦胞的旋轉方向相同。假若這些渦胞之間會發生摩擦，則渦胞的旋轉會越來越慢，終究會停止旋轉；假若這些渦胞之間是平滑的，則渦胞會失去傳播資訊的能力。為了要避免這些棘手的問題，馬克士威想出一個絕妙的點子：他假設在兩個相鄰渦胞之間，有一排微小圓珠，將這兩個渦胞隔離分開。這些圓珠只能滾動（rolling），不能滑動。圓珠旋轉的方向相反於這兩個渦胞的旋轉方向，這樣，就不會引起摩擦。圓珠的平移速度是兩個渦胞的周邊速度的平均值。這是一種運動關係，不是動力關係。馬克士威將這些圓珠的運動比擬為電流。從這模型，經過一番複雜的運算，馬克士威能夠推導出安培定律、法拉第感應定律等等。

馬克士威又給予這些渦胞一種彈性性質。假設施加某種外力於圓珠，則這些圓珠會轉而施加切力於渦胞，使得渦胞變形。這代表了一種靜電狀態。假設外力與時間有關，則渦胞的變形也會與時間有關，因而形成了電流。這樣，馬克士威可以比擬出電位移和位移電流。不但是在介質內，甚至在真空（馬克士威認為沒有完全的真空，乙太瀰漫於整個宇宙），只要有磁力線，就有渦胞，位移電流就可以存在。因此，馬克士威將安培定律加以延伸，增加了一個有關於位移電流的項目，稱為「馬克士威修正項」。聰明睿智的馬克士威很快地聯想到，既然彈性物質會以波動形式傳播能量於空間，那麼，這彈性模型所比擬的電磁場應該也會以波動形式傳播能量於空間。不但如此，電磁波還會產生反射，折射等等波動行為。馬克士威計算出電磁波的傳播速度，發覺這數值非常接近於，先前從天文學得到的，光波傳播於行星際空間（interplanetary space）的速度。因此，馬克士威斷定光波就是一種電磁波。

現今常見的馬克士威方程組，在論文內出現了很多次：

1. 在論文內，方程式（56）是高斯磁定律：

   $\frac{d}{dx}(\mu\alpha)+\frac{d}{dy}(\mu\beta)+\frac{d}{dz}(\mu\gamma)=0$ ;

   其中，$\mu$ 是渦胞的質量密度，對應於磁導率，$\alpha$ 、$\beta$ 、$\gamma$ 分別為渦胞的週邊速度向量的三個投影於x-軸、y-軸和z-軸的分量，對應於 $\mathbf{H}$ 的三個分量。
2. 方程式（112）是馬克士威-安培定律：

   $p=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{d\gamma }{dy} - \frac{d\beta}{dz}- \frac{1}{E^2}\frac{dP}{dt}\right)$ 、

   $q=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{d\alpha }{dz} - \frac{d\gamma }{dx}- \frac{1}{E^2}\frac{dQ}{dt}\right)$ 、

   $r=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{d\beta }{dx} - \frac{d\alpha }{dy} - \frac{1}{E^2}\frac{dR}{dt}\right)$ ；

   其中，$p$ 、$q$ 、$r$ 分別為每秒鐘通過單位面積的圓粒數量向量的三個分量，分別對應於電流密度 $\mathbf{J}$ 的三個分量，$P$ 、$Q$ 、$R$ 分別為在渦胞之間的圓粒所感受到的作用力的三個分量，分別對應於電場 $\mathbf{E}$ 的三個分量。
   這方程式右邊第三個項目是包括了位移電流的馬克士威修正項。後來，他在1865年的論文《電磁場的動力學理論》中，延續先前的點子，推導出電磁波方程式，在理論上證明了光波是電磁波。很有趣地是，完全沒有使用到位移電流的概念，古斯塔夫·基爾霍夫就能夠於1857年推導出電報方程式（telegraph equations）。但是，他使用的是帕松方程式和電荷連續方程式。位移電流的數學要素就是這兩個方程式。可是，基爾霍夫認為他的方程式只適用於導線內部。因此，他始終沒有發覺光波就是電磁波的事實。
3. 方程式（115）是高斯定律：

   $e=\frac{1}{4\pi E^2}\left(\frac{dP}{dx} +\frac{dQ}{dy} +\frac{dR}{dz}\right)$ ;

   其中，$e$ 是單位體積的圓粒數量，對應於電荷密度 $\rho$，$E$ 是渦胞的彈性常數，對應於電容率 $\epsilon$ 的平方根的倒數。
4. 方程式（54）是

   $\frac{dQ}{dz} - \frac{dR}{dy}=\mu\frac{d\alpha}{dt}$ 、

   $\frac{dR}{dx} - \frac{dP}{dz}=\mu\frac{d\beta}{dt}$ 、

   $\frac{dP}{dy} - \frac{dQ}{dx}=\mu\frac{d\gamma}{dt}$ ；

   方程式（77）是

   $P=\mu\gamma\frac{dy}{dt} - \mu\beta\frac{dz}{dt}+ \frac{dF}{dt} - \frac{d\Psi}{dx}$ 、

   $Q=\mu\alpha\frac{dz}{dt} - \mu\gamma\frac{dx}{dt}+ \frac{dG}{dt} - \frac{d\Psi}{dy}$ 、

   $R=\mu\beta\frac{dx}{dt} - \mu\alpha\frac{dy}{dt}+ \frac{dH}{dt} - \frac{d\Psi}{dz}$ ；

   其中，$F$ 、$G$ 、$H$ 分別為在渦胞之間的圓粒的動量的三個分量，分別對應於磁向量勢 $\mathbf{A}$ 的三個分量，$\Psi$ 是圓粒與圓粒相互作用於對方的壓力，對應於電勢 $\phi$。
   方程式（54）是黑維塞指為法拉第感應定律的方程式。法拉第的原本的通量定律將含時方面和運動方面的問題合併在一起處理。馬克士威用方程式（54）來專門處理電磁感應涉及的含時方面的問題，用方程式（77）來處理電磁感應涉及的運動方面的問題。稍後列出的原本的八個馬克士威方程式之中的方程式（D）就是方程式（77），對應於現在的勞侖茲力定律。當亨德里克·勞侖茲還是年輕小伙子的時候，馬克士威就已經推導出這方程式了。

論文《電磁場的動力學理論》

於1864年，馬克士威發表了論文《電磁場的動力學理論》。這篇論文的第三節的標題為電磁場一般方程式，在這節裏，馬克士威寫出了二十個未知量的二十個方程式；其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標軸，有一個方程式），另外兩個是純量方程式。所以，以現代向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式，分別為

（A） 總電流定律

$\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$ 、

（B） 磁場方程式

$\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}$ 、

（C） 安培環流定律

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}$ 、

（D） 勞侖茲力方程式

$\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi$ 、

（E） 電彈性方程式

$\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}$ 、

（F） 歐姆定律

$\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}$ 、

（G） 高斯定律

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ 、

（H） 連續方程式

$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$ 。

在這篇論文裡，馬克士威推導出光波是一種電磁現象。在他的導引裏，他並沒有用法拉第感應定律，而是用方程式（D）來解釋電磁感應作用。現代教科書大多是用法拉第感應定律來解釋電磁感應作用。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第感應方程式在內。

教科書《電磁通論》

英語维基文库中与本条目相关的原始文献：

電磁通論

發行於1873年，馬克士威親自著作的《電磁通論》是一本電磁學教科書。在這本書內，方程式被收集成兩組。第一組是

$\mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ 、

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ ；

其中，$\phi$ 是電勢，$\mathbf{A}$ 是磁向量勢。

第二組是

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ 、

$\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \mathbf{J}$ 。

從第一組的兩個方程式，分別取旋度和散度，則可得到法拉第感應定律和高斯磁定律的方程式：

$\nabla\times\mathbf{E} = -\nabla\times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ 、

$\nabla\cdot \mathbf{B} =0$ 。

宏觀馬克士威方程組

束縛電荷和束縛電流

左半圖：一群微觀的電偶極子的共同作用，就好像以宏观距離分開，分別位於圖上方和圖下方的一對帶電薄面的有效作用（請注意，這些帶電表面所生成的電場，並不是原本造成電偶極子排列的電場，而是等價於這電偶極子排列的宏观表現出的電場）。右半圖：一群微觀的電流迴路的共同作用，就好像一個宏观的電流迴路的有效作用。假設電流迴路均勻分佈，則所有位於內部的電流迴路的貢獻都會互相抵銷；但是，位於邊界的電流迴路不會全部地抵銷，因而形成宏观的電流迴路。

假設，施加外電場於介電質，響應這動作，介電質的分子會形成一個微觀的電偶極子，顯示出伴隨的電偶極矩。分子的原子核會朝著電場的方向稍微遷移位置，而電子則會朝著相反方向稍微遷移位置。這形成了介電質的電極化。如右圖的理想狀況所示，雖然，所有涉及的電荷都仍舊束縛於其原本的分子，由於這些微小遷移所造成的電荷分佈，變得好像是在介電質的一邊形成了一薄層正表面電荷，在另一邊又形成了一薄層負表面電荷。電極化強度定義為介電質內部的的電偶極矩密度，也就是單位體積的電偶極矩。在介電質內部，假設電極化強度 $\mathbf{P}$ 是均勻的，則宏观的面束縛電荷只會出現於介電質表面， $\mathbf{P}$ 進入或離開介電質之處；否則，假設 $\mathbf{P}$ 是不均勻的，則介電質內部也會出現束縛電荷。

與靜電學有些類似，在靜磁學裏，假設施加外磁場於物質，響應這動作，物質會被磁化，組成的原子會顯示出磁矩。在本質上，這磁矩與原子的各個亞原子粒子的角動量有關，其中，響應最顯著的是電子。這角動量的連結，不禁令人聯想到一副圖畫，在圖畫中，磁化物質變成了一群微觀的束縛電流迴路。雖然每一個電荷只是移動於其原子的微觀迴路，一群微觀的束縛電流迴路聚集在一起會形成宏观的面束縛電流循環流動於物質的表面。這些束縛電流可以用磁化強度來描述。磁化強度定義為磁偶極矩在一個磁化物質內的密度，也就是單位體積的磁偶極矩。

對於許多案例，原子行為和電子行為的微觀細節，可以使用較簡易的方法來處理。這樣，很多精密尺度的細節，對於研究物質的宏观行為並不重要，因此可以被忽略。這解釋了為甚麼要區分出束縛與自由的物理行為。

這些非常複雜與粗糙的束縛電荷與束縛電流的物理行為，在宏观尺度，可以分別以電極化強度與磁化強度來表達。電極化強度與磁化強度分別將這些束縛電荷與束縛電流以恰當的尺度做空間平均，這樣，可以除去單獨整體原子形成的凹凸粗糙結構，但又能夠顯示出強度隨著位置而變化的物理性質。由於所有涉及的向量場都已做過恰當體積的空間平均，宏观馬克士威方程組忽略了微觀尺度的許多細節，對於了解物質的宏观尺度性質，這些細節可能不具甚麼重要性。

本構關係

為了要應用宏观馬克士威方程組，必須分別找到 $\mathbf{D}$ 場與 $\mathbf{E}$ 場之間，和 $\mathbf{H}$ 場與 $\mathbf{B}$ 場之間的關係。這些稱為本構關係（constitutive relations）的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。

本構關係式的基礎建立於 $\mathbf{D}$ 場與 $\mathbf{H}$ 場的定義式：

$\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)$ 、

$\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)$ ；

其中，$\mathbf{P}$ 是電極化強度，$\mathbf{M}$ 是磁化強度。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

自由空間案例

假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：

$\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}$ 、

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$ 。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和電極化電流。

線性物質案例

對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$ 、

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$ ；

其中，$\varepsilon$ 是物質的電容率，$\mu$ 是物質的磁導率。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，可以得到方程組

對於線性、各向同性物質的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	$\nabla \cdot(\varepsilon \mathbf{E}) =\rho_f$	$\int\!\!\!\!\int_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,(\varepsilon \mathbf{E})\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_f$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\int\!\!\!\!\int_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0$
法拉第感應定律	$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_{\mathbf{B}}}{\mathrm{d} t}$
馬克士威-安培定律	$\nabla \times (\mathbf{B}/\mu) = \mathbf{J}_f + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\$	$\oint_{\mathbb{L}}\ (\mathbf{B}/\mu) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= I_f + \frac {\mathrm{d} \Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}}{\mathrm{d} t}$

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量$\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}$ 的方程式為

$\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}=\iint_{\mathbb{S}}\ \varepsilon\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}$ 。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和電極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面電極化電流。

一般案例

對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從 $\mathbf{D}$ 場與 $\mathbf{H}$ 場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（transport phenomena）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$ 、

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$ 。

不同的是，$\varepsilon$ 和 $\mu$ 不再是簡單常數，而是函數。例如，

• 色散或吸收 ：$\varepsilon$ 和 $\mu$ 是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致 $\varepsilon$ 和 $\mu$ 為複值，也導致電磁波被物質吸收。
• 非線性：$\varepsilon$ 和 $\mu$ 都是電場與磁場的函數。例如，克爾效應（Kerr effect） 和波克斯效應（Pockels effect）。
• 各向異性：例如，雙折射或二向色性（dichroism）。$\varepsilon$ 和 $\mu$ 都是二階張量：

$D_i = \sum_j \epsilon_{ij} E_j$ 、

$B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j$ 。

• 雙耦合各向同性（Bi-isotropy）或雙耦合各向異性（Bi-anisotropy）：在雙耦合各向同性物質裏，$\mathbf{D}$ 場與 $\mathbf{H}$ 場分別各向同性地耦合於 $\mathbf{E}$ 場與 $\mathbf{B}$ 場：

$\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}+\xi \mathbf{H}$ 、

$\mathbf{B}= \mu \mathbf{H} + \zeta \mathbf{E}$ ；

其中，$\xi$ 與 $\zeta$ 是耦合常數，每一種介質的内禀常數。

在雙耦合各向異性物質裏，$\mathbf{D}$ 場與 $\mathbf{H}$ 場分別各向異性地耦合於 $\mathbf{E}$ 場與 $\mathbf{B}$ 場，係數 $\epsilon$ 、$\mu$ 、$\xi$ 、$\zeta$ 都是張量。

• 在不同位置和時間，$\mathbf{P}$ 場與 $\mathbf{M}$ 場分別不同地相依於 $\mathbf{E}$ 場與 $\mathbf{B}$ 場：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況，$\mathbf{P}$ 場與 $\mathbf{M}$ 場計算為

$\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\; \chi_{\mathrm{e}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')$ 、

$\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \; \chi_{\mathrm{m}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')$ ；

其中，$\chi_{\mathrm{e}}$ 是電極化率，$\chi_{\mathrm{m}}$ 是磁化率。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄頻寬內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可已被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬（perfect metal），形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。

隨著材料科學的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像光子晶體。

本構關係的演算

通常而言，感受到局域場施加的勞侖茲力，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置 $\mathbf{r}$ ，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏观場不同。更詳盡細節，請參閱克勞修斯-莫索提方程式。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種量子力學分析，像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林-庫波關係式（Green–Kubo relations）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和納維-斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、等離子模型（plasma modeling）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像礫岩（conglomerate）或疊層材料（laminate）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。

自由空間

在自由空間裏，不需要考慮介電質或磁化物質的問題。假設源電流和源電荷為零，則馬克士威方程組變為

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ 、

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 、

$\nabla \times \mathbf{E} = -\ \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ 、

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$ 。

對於這方程組，平面行進正弦波是一組解。這解答波的電場和磁場相互垂直，並且分別垂直於平面波行進的方向。電場與磁場同相位地以光速 $c$ 傳播：

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ 。

仔細地觀察馬克士威方程組，就可以發現這方程組很明確地解釋了電磁波怎樣傳播於空間。根據法拉第感應定律，時變磁場會生成電場；根據馬克士威-安培定律，時變電場又生成了磁場。這不停的循環使得電磁波能夠以光速傳播於空間。

1856年，威廉·韋伯和鲁道夫·科尔劳施（Rudolf Kohlrausch），從他們的萊頓瓶實驗，計算出 $c$ 的數值，發覺這數值非常接近於，先前從天文學得到的，光波傳播於行星際空間的速度。從這實驗結果，馬克士威正確地斷定光波就是一種電磁輻射。

磁單極子

馬克士威方程組將電場、磁場與電荷的運動相連結。在方程組中，他有給電荷安排位置，但並沒有給磁荷（磁单极子）安排位置。在粒子物理學裏，並沒有類比於電子的磁粒子。雖然如此，包括磁荷與磁流在內的馬克士威方程組是一門很熱門的理論研究題目。根據最新實驗結果，科學家發現，有一種稱為自旋冰（spin ice）的晶態物質，其宏觀物理行為很像磁單極子的物理行為。請注意，這發現並沒有違背磁荷從未被觀察到和可能不存在的事實。除了磁荷這例外，馬克士威方程組擁有對稱的形式。實際而言，當所有電荷等於零時，可以寫出對稱的方程組。請參閱前面的自由空間段落。

假設允許磁荷存在的可能，則也可以寫出完全對稱的方程組。馬克士威方程組內會增添兩個新的變量，磁荷 $\rho_m$ 和磁流 $\mathbf{J}_m$ 。採用厘米-克-秒制，延伸的馬克士威方程組表示為

馬克士威方程組（厘米-克-秒制）

名稱	磁單極子不存在	磁單極子存在
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_e$	$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_e$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 4 \pi \rho_m$
法拉第感應定律	$-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \frac{4 \pi}{c}\mathbf{j}_m$
馬克士威-安培定律	$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}_e$	$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}_e$
請注意，刪除因子 $c$ ，即可得到無單位的形式。

假若，磁荷不存在，或者假若它們不存在於某一個區域，則新增添的兩個變量 $\rho_m$ 和 $\mathbf{J}_m$都等於零，對稱的方程組約化為一般形式的馬克士威方程組。

邊界條件

就像其它微分方程組，假若沒有合適的邊界條件 與初始條件，則無法給出馬克士威方程組的唯一解答。

特別而言，在一個不含有任何自由電荷和自由電流的區域 $\mathbb{R}$ 內的電磁場，必定是來自於其它區域。當解析這狀況時，通過適當的邊界條件或初始條件，可以將電磁場引進這區域 $\mathbb{R}$ 。舉一個電磁波散射的例子，一個來自於散射區域之外的電磁波，遭遇到散射區域內的一個靶子，被這靶子散射出去。在這散射過程裏，由於電磁波與靶子之間相互作用，散射的電磁波含有很多與這靶子性質相關的資料。經過仔細地分析，將這些資料萃取出來，就可以更詳細地了解這靶子的性質。

對於某些案例，譬如波導或空腔共振器（resonator），因為像金屬牆壁一類的隔離設施，解答區域大部份孤立於外部世界。在金屬牆壁位置的邊界條件決定了解答區域的電磁場。在解答區域以外的外部世界，只能靠著邊界條件來影響內部的狀況。對於另外一些案例，像光導纖維或薄膜，解答區域時常會被分割為幾個亞區域，每個亞區域都有其簡單獨自的性質。通過亞區域與亞區域之間界面的邊界條件，可以將每一個亞區域的解答連結起來。

應用邊界條件，有時也可以簡化問題，使得問題更容易被了解。例如，均勻物體的電極化可以被更換為在這物體外表的一層面電荷分佈，或者，均勻物體的磁化被更換為在這物體外表的一層面電流分佈。詳盡細節，請參閱束縛電荷和束縛電流段落。

以下列出一些重要的邊界條件：斯徒姆-劉維邊界條件（Sturm-Liouville boundary condition）、狄利克雷邊界條件、諾伊曼邊界條件、混合邊界條件（mixed boundary condition）、柯西邊界條件（Cauchy boundary condition）、索末菲輻射條件（Sommerfeld radiation condition）。在解析問題時，必須選擇適當的邊界條件，才可得到正確的答案。

高斯單位制

厘米-克-秒單位制的三個基本單位是長度單位公分、質量單位克、時間單位秒。在經典力學裏，厘米-克-秒單位制的單位是一致的；但在電磁學裏，則出現了幾種變型。高斯單位制是其中一種變形。在高斯單位制裏，馬克士威方程組的形式為

$\nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_f$ 、

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 、

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ 、

$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}_f$ 。

在自由空間裏，假設不存在任何電荷和電流，則方程組簡化為

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ 、

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 、

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ 、

$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 。

採用這單位制，電位移、電場和電極化強度的關係式為

$\mathbf{D} = \mathbf{E} + 4\pi\mathbf{P}$ ，

B場、H場和磁化強度的關係式為

$\mathbf{B} = \mathbf{H} + 4\pi\mathbf{M}$ 。

對於線性物質，電極化率 $\chi_e$ 和磁化率 $\chi_m$ 分別定義為

$\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ \chi_e \mathbf{E}$ 、

$\mathbf{M}\ \stackrel{def}{=}\ \chi_m \mathbf{H}$ 。

電容率 $\epsilon$ 和磁導率 $\mu$ 分別為

$\epsilon = 1+4\pi\chi_e$ 、

$\mu = 1+4\pi\chi_m$ 。

所以，電位移和B場分別為

$\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$ 、

$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$ 。

在自由空間裏，方程組變得相當簡單：

$\epsilon=\mu=1$ 、

$\mathbf{D}=\mathbf{E}$ 、

$\mathbf{B}= \mathbf{H}$ 。

根據勞侖茲力定律，一個以速度 $\mathbf{v}$ 移動於電場和磁場的帶電粒子 $q$ ，所感受到的勞侖茲力 $\mathbf{F}$ 為

$\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}\right)$。

這形式與先前國際單位制的形式稍微有點不同。特別注意，電位移、電場和電極化強度、B場、H場和磁化強度的單位相同。

關於怎樣正確地從一個單位制變換到另外一個單位制，請參閱高斯單位制。

進階表述

馬克士威方程組的協變形式

馬克士威方程組與狹義相對論之間的關係密切。不只是因為馬克士威方程組對於狹義相對論的初始發展，做了相當大的貢獻，也因為狹義相對論激盪出一種更簡潔的表述，能以協變張量來表達馬克士威方程組。

自由空間的馬克士威方程組的形式，對於任意慣性坐標系，都是一樣的。在狹義相對論裏，為了要更明確地表達出這論點，必須以四維向量和張量寫出協變形式的馬克士威方程組。這表述的一個構成要素為電磁張量。這張量是一個結合了電場和磁場在一起的二階反對稱協變張量 $F_{\alpha \beta}$：

$F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & {E_x}/{c} & {E_y}/{c} & {E_z}/{c} \\ {-E_x}/{c} & 0 & -B_z & B_y \\ {-E_y}/{c} & B_z & 0 & -B_x \\ {-E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix} \right)$ 。

使用閔考斯基度規 $\eta$ ，

$\eta^{\alpha \beta} = diag( 1,-1,-1,-1)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$ ，

將下標拉高為上標，可以得到反變張量 $F^{\mu \nu}$ ：

$F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\alpha\mu} \, \eta^{\beta \nu} \, F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -{E_x}/{c} & -{E_y}/{c} & -{E_z}/{c} \\ { E_x}/{c} & 0 & -B_z & B_y \\ { E_y}/{c} & B_z & 0 & -B_x \\ { E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$ 。

給予一個 $n$ 階反對稱協變張量 $F_{i_1 i_2 \dots i_n}$ ，則其 $m$ 階對偶張量（dual tensor） $G^{j_1 j_2 \dots j_m},\quad m<n$ 是一個反對稱反變張量：

$G^{j_1 j_2 \dots j_m}=\frac{1}{n!}\ \epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }\ F_{i_1 i_2 \dots i_n}$ ；

其中，$\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }$ 是 $m+n$ 維列維-奇維塔符號。

根據這定義，$F_{\alpha \beta}$ 的二階對偶張量 $G^{\mu \nu}$ 是

$G^{\mu \nu} = \left(\begin{matrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & {E_z}/{c} & -{E_y}/{c} \\ B_y & -{E_z}/{c} & 0 & {E_x}/{c} \\ B_z & {E_y}/{c} & -{E_x}/{c} & 0 \end{matrix}\right)$ 。

換一種方法，將 $F^{\alpha \beta}$ 的項目做以下替換： ${\mathbf E}/{c} \to \mathbf B$ 、$\mathbf B \to - \ {\mathbf E}/{c}$ ，也可以得到二階對偶張量 $G^{\mu \nu}$ 。

另外一個要素是四維電流密度 $J^{\alpha}$ ：

$J^{\alpha} = (c\rho,\mathbf{J})$ ；

其中，$\rho$ 是電荷密度，$\mathbf{J}$ 是電流密度。

藉著這些要素，採用愛因斯坦求和約定，馬克士威方程組可以寫為

$\frac{\partial F^{\beta\alpha}}{\partial x^{\alpha}}=\mu_{0}J^{\beta}$ 、

$\frac{\partial G^{\beta\alpha}}{\partial x^{\alpha}}=0$ ;

其中，$\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)$是四維梯度（Four-gradient）。

這兩個張量方程式等價於馬克士威方程組。第一個張量方程式表達兩個非齊次馬克士威方程式，高斯定律和馬克士威-安培定律。第二個張量方程式表達兩個齊次馬克士威方程式，高斯磁定律和法拉第感應定律。

勢場表述

在高等经典力學裏，採用勢場表述，以電勢與磁向量勢來表達馬克士威方程組，有時候可能對解析問題很有助益。在量子力學裏，這是必需手段。電勢 $\phi$ 與磁向量勢 $\mathbf{A}$ 分別如此定義：

$\mathbf{E} = - \nabla \phi -\ \frac{\partial \mathbf {A}}{\partial t}$ 、

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ 。

從這兩個定義式，兩個齊次馬克士威方程式自動成立，另外兩個非齊次方程式變為

$\nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t} \left (\nabla \cdot \mathbf{A} \right ) = -\ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ 、

$\left ( \nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} \right ) - \nabla \left ( \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf{J}$ 。

這兩個勢場方程式組合起來，具有與原本馬克士威方程組同樣的功能和完備性。由於電場和磁場各有三個分量，原本的馬克士威方程組需要解析六個分量。勢場表述只需要解析四個分量，因為電勢只有一個分量，磁向量勢有三個分量。可是，勢場表述涉及了二次微分，方程式也比較冗長。

許多不同的 $\phi$ 與 $\mathbf{A}$ 數值組可以得到同樣的電場與磁場。因此，這些數值組相互物理等價，可以自由選擇。這性質稱為規範自由。恰當的選擇可以簡化方程式的形式，或者，可以專門適用於某特別狀況。

協變形式

採用勞侖次規範，勢場的兩個向量方程式可以約化為單獨一個具有勞侖茲不變性的四維向量方程式。四維電流密度乃是由電流密度 $\mathbf{j}$ 和電荷密度 $\rho$ 共同組成，以方程式定義為

$j^\mu = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)$ 。

四維勢乃是由磁向量勢和電勢共同組成，以方程式定義為

$A^\mu = \left( \varphi/c , \mathbf{A}\right)$ 。

十九世紀初，阿諾·索末菲提出了四維向量方程式，這是波恩哈德·黎曼先前想出的一個方程式的推廣，因此，知名為「黎曼-索莫菲方程式」，或馬克士威方程式的勢場表述的協變形式：

$\Box A^\mu = \mu_0 j^\mu$ ；

其中，$\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left( \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right)$ 是達朗白算符，又稱為「四維拉普拉斯算符」。

彎曲時空

物質和能量會造成時空彎曲。這是廣義相對論的主題。時空彎曲會影響電動力學的物理。一個電磁場所擁有的能量和動量也會造成時空彎曲。將平直時空的方程組中的偏導數，替換為協變導數，就可以得到彎曲時空中的馬克士威方程組。採用高斯單位制，馬克士威方程組表達為

$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} + {\Gamma^{\alpha}}_{\mu\alpha} F^{\mu\beta} + {\Gamma^{\beta}}_{\mu\alpha} F^{\alpha \mu}= { 4 \pi \over c }j^{\beta}$ 、

$\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} =0$ ；

其中，${\Gamma^{\alpha}}_{\mu\beta}$ 是表徵時空彎曲的克里斯托費爾符號。

參閱

阿布拉罕-勞侖茲力 制動輻射 時域有限差分法 菲涅耳方程 移動中的磁鐵與導體問題

傑斐緬柯方程式 電磁場的數學表述 非齐次的电磁波方程 雙縫實驗中光子的動力學 光子偏振（Photon polarization）

参考文献

進階閱讀

• Griffiths, David J., Introduction to electrodynamics. Third Edition, Prentice Hall. 1999, ISBN 013805326X 
• Jackson, John David, Classical Electrodynamic. 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.. 1999, ISBN 978-0-471-30932-1