初值問題

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數學裏,初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題;這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子:

 y' = 0.85 y,\qquad y(0) = 19
\dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3

定義[编辑]

一個初值問題涉及微分方程式

y'(t)=f(t,\ y(t))\quad\text{with}\quad f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\!

與在 f\,\! 的定義域內的一點

(t_0,\ y_0) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\!

這在 f\,\! 的定義域內的點 (t_0,\ y_0)\,\! 稱為初始條件

  • 假若初值問題的一個解是函數 y\,\! ,則 y\,\! 是微分方程式 y'(t) = f(t,\ y(t))\,\! 的解,滿足 y(t_0) = y_0\,\!
  • 對於更高階的問題,可視 \mathbf{y}\,\!向量。每加高一個階,就増添一個分量給 \mathbf{y}\,\!

解的存在性及唯一性[编辑]

對於許多的初值問題,解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括t0y0的區間內連續,且對變數y滿足利普希茨連續的條件.則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t0的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程,積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子,因此其解為運算子的不動點,再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點.即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列,最終會收斂到積分方程的解,也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」,是巴拿赫不动点定理的一個特例。

日本數學家岡村博日语岡村博找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件,其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在[1]

有些情形,函數ƒ不是光滑函数,甚至不是利普希茨連續,因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形,證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性[2][3]卡拉特歐多存在性定理英语Carathéodory existence theorem可適用的範圍更廣,可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

範例[编辑]

例一

一個簡單的範例是求解y' = 0.85 yy(0) = 19,要求出一個y(t)滿足上述二式。

由於y' = \frac{dy}{dt},因此

\frac{dy}{dt} = 0.85 y

接下來重新整理方程式,使y在等式左邊,t在等式右邊

\frac{dy}{y} = 0.85dt

再將等式二邊積分,會引入未知常數B

\ln | y | = 0.85t + B

消去\ln

 | y | = e^Be^{0.85t}

C為一個新的未知常數,C = \pm e^B,因此

 y = Ce^{0.85t}

現在需要找出C的數值。利用y(0) = 19的啟始條件,將t代入0,y代入19

 19 = C e^{0.85 * 0}
 C = 19

因此可得其解為 y(t) = 19e^{0.85t}.

例二
\dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3

利用拉普拉斯变换

sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \frac{6}{s^2} + \frac{5}{s}
\therefore Y(s) = \frac{y(0)s^2 + 5s + 6}{s^{2}(s+3)}

利用部分分式分解

Y(s) = \frac{\alpha}{s} + \frac{\beta}{s^2} +\frac{\gamma}{s+3}
\alpha=1,\beta=2,\gamma=y(0)-1
Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} +\frac{y(0)-1}{s+3}

拉普拉斯逆變換

y(t)=2e^{-3t}+2t+1 \,

參閱[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Okamura, Hirosi. Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 1942, 24: 21–28 (French). 
  2. ^ Coddington, Earl A. and Levinson, Norman. Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. 1955. Theorem 1.3
  3. ^ Robinson, James C. Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-63204-8. Theorem 2.6