斯托克斯定理

微积分学
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斯托克斯定理(Stokes theorem)是微分几何中，关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了几个向量微积分的定理。它以斯托克斯(George Gabriel Stokes，1819-1903)爵士命名。

[编辑] 公式

设 $Γ$ 为分段光滑的空间有向闭曲线， $Σ$ 是以 $Γ$ 为边界的分片光滑的有向曲面， $Γ$ 的正向与 $Σ$ 的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面 $Σ$ (连同边界 $Γ$ )上具有一阶连续偏导数，则有

$\iint\limits_{\Sigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$

这个公式叫做斯托克斯公式。這和函數的旋度有關，用梯度算符可寫成：

$\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$

它在欧氏3维空间上的向量场的旋度的曲面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系，这是一般性的斯托克斯定理(在n=2时)的特例，我们只需用欧氏3维空间上的度量把向量场看作等价的1形式。

该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森 (开尔文勋爵)给出，出现在他给斯托克斯的信中。

类似的，高斯散度定理

$\int_{\mathrm{Vol}} \nabla \cdot \mathbf{v} \; d\mathrm{Vol} = \int_{\partial \mathrm{Vol}} \mathbf{v} \cdot d\Sigma$

也是一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。

微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。

使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。

[编辑] 另一种形式

$\iint\limits_{\Sigma}\begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}dS=\oint\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$

[编辑] 流形上的斯托克斯公式

令 M为一个可定向分段光滑n维流形，令ω为n−1阶 M上的 C¹类紧支撑微分形式.如果 ∂M表示M的边界，并以M的方向诱导的方向为边界的方向，则

$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.\!\,$

这里d是外导数, 只用流形的结构定义。斯托克斯定理可以认为是微积分基本定理的推广；后者实际上是前者的简单推论。

该定理经常用于M是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

[编辑] 应用

斯托克斯公式是格林公式的推广。

利用斯托克斯公式可计算曲线积分。