偏微分方程

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二維熱傳導方程式的解
微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

偏微分方程(Partial Differential Equation,简称PDE)指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函數及其偏导数數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。

偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式,常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件

記號及例子[编辑]

方程式中常以u為未知數及偏微分,如下:

u_x = {\part u \over \part x}
u_{xy} = {\part^2 u \over \part x\, \part y}

用於空間偏微分的梯度運算子\nabla=({\part \over \part_x}, {\part \over \part_y}, {\part \over \part_z})

時間偏微分\dot u= {\part u \over \part t},線性偏微分方程式的例子如下:

拉普拉斯方程[编辑]

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0

適用於重力場或靜電場。

泊松方程[编辑]

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x,y,z)

適用於所有物質或電荷重力場靜電場

波動方程式[编辑]

未知函數u(x,y,z,t):

u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )
\ddot u=c^2\nabla^2u

熱傳導方程式[编辑]

u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )

其中k代表該材料的熱導率

分类[编辑]

一些线性二阶偏微分方程可以分为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这种分类便于在解偏微分方程时寻找初始条件提供依据。

一阶偏微分方程[编辑]

二阶偏微分方程[编辑]

表达式为:

Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,

其中A,B,C为参数并且取决于x,y。如果在xy平面上有A^2 +B^2 + C^2 > 0,该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为:

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.

该二阶偏微分方程可分类为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆方程,起分类方式为:

  1. B^2 - AC \, < 0 :椭圆方程;
  2. B^2 - AC = 0\, :抛物线方程;
  3. B^2 - AC \, > 0 :双曲线方程。

混合形式方程[编辑]

如果偏微分方程的系数不是一个常数,该偏微分方程可能不属于以上几种类别之一,而可能是混合形式方程。一个简单的例子为Euler–Tricomi方程:


u_{xx} \, = xu_{yy}

该方程称为椭圆双曲线方程。因为当x < 0时是椭圆形式,当x > 0时是双曲线形式。

解析法解偏微分方程[编辑]

一些有效的解析法解偏微分方程方法:

分离变量法[编辑]

通过分离变量法减少偏微分方程中的变量,将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。

特征线法[编辑]

沿着一阶偏微分方程的特征线,偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。

积分变换[编辑]

利用积分法,将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程,方便求解。一般为傅里叶变换分析。

变量变换[编辑]

通过适当的变量变换,可以简化偏微分方程的求解。一个典型的例子为Black–Scholes方程:

 \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0

可以简化为热力方程:

 \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

通过如下变换:

 V(S,t) = K v(x,\tau)\,
 x = \ln(S/K)\,
 \tau = \frac{1}{2} \sigma^2 (T - t)
 v(x,\tau)=\exp(-\alpha x-\beta\tau) u(x,\tau).\,

基本解[编辑]

非齐次偏微分方程可通过寻找基本算子,然后通过带有初始条件的卷积来解答。 该法常用于信号处理中通过冲激响应来求解滤波器。

叠加原理[编辑]

因为一个线性齐次偏微分方程解的重叠也可看做一个解,所以可以通过交叉重叠这些解得到偏微分方程的一个解。

非线性偏微分方程的解法[编辑]

李群方法[编辑]

数值法解偏微分方程[编辑]

在众多求解偏微分方程的数值方法中,三种应用最广的方法为有限元法(Finite Element Method, FEM)、有限体积法(Finite Volume Method, FVM)和有限差分法(Finite Difference Method, FDM)。其中,有限元法占主要地位,尤其是它的高效高阶版本—hp-FEM英语hp-FEM。其它版本的有限元法还有:广义有限元法(Generalized Finite Element Method, FFEM)、扩展有限元法(eXtended Finite Element Method, XFEM)、无网格有限元法(Meshfree Finite Element Method)、离散迦辽金有限元法(Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM)等。