偏微分方程

二維熱傳導方程式的解

偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函數及其偏导数數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。

偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。

記號及例子

方程式中常以u為未知數及偏微分，如下:

$u_x = {\part u \over \part x}$

$u_{xy} = {\part^2 u \over \part x\, \part y}$

用於空間偏微分的梯度運算子 $\nabla=({\part \over \part_x}, {\part \over \part_y}, {\part \over \part_z})$

時間偏微分$\dot u= {\part u \over \part t}$，線性偏微分方程式的例子如下：

拉普拉斯方程

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0$

適用於重力場或靜電場。

泊松方程

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x,y,z)$

適用於所有物質或電荷的重力場或靜電場。

波動方程式

未知函數 u(x,y,z,t):

$u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$

$\ddot u=c^2\nabla^2u$

熱傳導方程式

$u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )$

其中 k 代表該材料的熱導率

分类

一些线性二阶偏微分方程可以分为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这种分类便于在解偏微分方程时寻找初始条件提供依据。

二阶偏微分方程

表达式为：

$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,$

其中A,B,C为参数并且取决于x,y。如果在xy平面上有$A^2 +B^2 + C^2 > 0$，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为：

$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.$

该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，起分类方式为：

1. $B^2 - AC \, < 0$ :椭圆方程；
2. $B^2 - AC = 0\,$ :抛物线方程；
3. $B^2 - AC \, > 0$ ：双曲线方程。

混合形式方程

如果偏微分方程的系数不是一个常数，该偏微分方程可能不属于以上几种类别之一，而可能是混合形式方程。一个简单的例子为Euler–Tricomi方程：

$u_{xx} \, = xu_{yy}$

该方程称为椭圆双曲线方程。因为当x < 0时是椭圆形式，当x > 0 时是双曲线形式。

解析法解偏微分方程

一些有效的解析法解偏微分方程方法：

分离变量法

通过分离变量法减少偏微分方程中的变量，将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。

特征线法

沿着一阶偏微分方程的特征线, 偏微分方程简化为一个常微分方程. 沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。

积分变换

利用积分法，将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程，方便求解。一般为傅里叶变换分析。

变量变换

通过适当的变量变换，可以简化偏微分方程的求解。一个典型的例子为Black–Scholes方程：

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$

可以简化为热力方程：

$\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

通过如下变换：

$V(S,t) = K v(x,\tau)\,$

$x = \ln(S/K)\,$

$\tau = \frac{1}{2} \sigma^2 (T - t)$

$v(x,\tau)=\exp(-\alpha x-\beta\tau) u(x,\tau).\,$

基本解

非齐次偏微分方程可通过寻找基本算子，然后通过带有初始条件的卷积来解答。 该法常用于信号处理中通过冲激响应来求解滤波器。

叠加原理

因为一个线性齐次偏微分方程解的重叠也可看做一个解，所以可以通过交叉重叠这些解得到偏微分方程的一个解。

非线性方程的解法

没有特别的针对非线性偏微分方程的解法。

数值法解偏微分方程

在众多求解偏微分方程的数值方法中，三种应用最广的方法为有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其中，有限元法占主要地位，尤其是它的高效高阶版本—hp-FEM。其它版本的有限元法还有：广义有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、扩展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、无网格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、离散迦辽金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。