黎曼积分

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

实分析中,由黎曼创立的黎曼积分Riemann integral)首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼-斯蒂尔杰斯积分勒贝格积分得到修补。

概念[编辑]

作为曲线坐标轴所夹面积的黎曼积分

对于一在区间\lbrack a, b \rbrack上之给定非负函数f(x),我们想要确定f(x)所代表的曲线X坐标轴所夹图形的面积,我们可以将此记为

S=\int_{a}^{b} f(x)dx.

黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时請注意,如f(x)取负值,则相应的面积值S亦取负值。

一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值,记为此函数的黎曼积分。

定义[编辑]

区间的分割[编辑]

一个闭区间[a,b]的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b。每个闭区间[x_i, x_{i+1}]叫做一个子区间。定义\lambda 为这些子区间长度的最大值:\lambda = \max (x_{i+1}-x_i),其中0 \le i \le n - 1

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b后,于每一个子区间中[x_i, x_{i+1}]取出一点x_i \le t_i \le x_{i+1}\lambda 的定义同上。

精细化分割:设x_0,\ldots,x_n以及t_0,\ldots,t_{n-1}构成了闭区间[a,b]的一个取样分割,y_0,\ldots,y_ms_0,\ldots,s_{m-1}是另一个分割。如果对于任意0 \le i \le n,都存在r(i)使得x_i = y_{r(i)},并存在r(i) \le j \le r(i+1)使得t_i = s_j,那么就把分割:y_0,\ldots,y_ms_0,\ldots,s_{m-1}称作分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1}的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。

黎曼和[编辑]

对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数ff关于取样分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1}黎曼和定义为以下和式:

\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)

和式中的每一项是子区间长度x_{i+1}-x_i与在t_i处的函数值f(t_i)的乘积。直观地说,就是以标记点t_i到X轴的距离为高,以分割的子区间为长的矩形的面积。

黎曼积分[编辑]

不太严格地来说,黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候,黎曼和趋向的极限。下面的证明中,会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效,需要把\lambda 趋于0。如此[x_i, x_{i+1}]中的函数值才会与f(t_i)接近,矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上,这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分,当且仅当对于任意的\epsilon > 0,都存在\delta > 0,使得对于任意的取样分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1},只要它的子区间长度最大值\lambda \le \delta ,就有:

\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,

也就是说,对于一个函数f,如果在闭区间[a,b]上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数f黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性,因为要检验所有\lambda \le \delta 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义,然后证明它们是等价的。

另一个定义: S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分,当且仅当对于任意的\epsilon > 0,都存在一个取样分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1},使得对于任何比其“精细”的分割y_0,\ldots,y_m and s_0,\ldots,s_{m-1},都有:

\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,

这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义,那么它也满足另一个。首先,如果有一个S满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值\lambda \le \delta 的分割中任取一个。对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于\delta,于是满足

\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,

其次证明满足第二个定义的S也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念,第二个定义和达布积分的定义是等价的,具体见达布积分达布积分那一文章里并没有说明这个原因,来源请求)。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割x_0,\ldots,x_n使得它的上达布和下达布和都与S相差不超过\frac{\epsilon}{2}。令r等于\max_{0 \le i \le n-1} (M_i-m_i),其中M_im_if[x_i,x_{i+1}]上的上确界下确界。再令\delta\frac{\epsilon}{2rn}\min_{0 \le i \le n-1} (x_{i+1}-x_i) 中的较小者。可以看出,当一个分割的子区间长度最大值小于\delta时,f关于它的黎曼和与上达布和下达布和至多相差\frac{\epsilon}{2},所以和S至多相差\epsilon

由于以上原因,黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义),因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

黎曼积分的性质[编辑]

  • 线性性:黎曼积分是线性变换,也就是说,如果fg在区间[a,b]上黎曼可积,\alpha\beta是常数,则:
 \int_{a}^{b}( \alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx.

由于一个函数的黎曼积分是一个实数,因此在固定了一个区间[a,b]后,将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射I: f \longrightarrow \int_{a}^{b} f dx是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函

  • 正定性:如果函数f在区间[a,b]几乎处处勒贝格测度意义上)大于等于0,那么它在[a,b]上的积分也大于等于零。如果f在区间[a,b]上几乎处处大于等于0,并且它在[a,b]上的积分等于0,那么f几乎处处为0。
  • 可加性:如果函数f在区间[a,c][c,b]上都可积,那么f在区间[a,b]上也可积,并且有
 \int_{a}^{b} f dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx

无论abc之间的大小关系如何,以上关系式都成立。

  • 如果{f_n}[a,b]上的一个一致收敛序列,其极限为f,那么:
 \int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.
  • 如果一个实函数在区间[a,b],上是单调的,则它是黎曼可积的,因为其中不连续的点集是可数集。

黎曼积分的推广[编辑]

黎曼积分可推广到值属于n维空间\mathbb{R}^n的函数。积分是线性定义的,即如果\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n),则\int\mathbf{f} = (\int f_1,\,\dots, \int f_n)。特别地,由于复数是实数向量空间,故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上,扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分,即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令

\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{x\to\infty}\int_{-x}^x f(t)\,dt.

不幸的是,这并不是很合适。平移不变性(如果把一个函数向左或向右平移,它的黎曼积分应该保持不变)丧失了。例如,令f(x) = 1x > 0f(0)=0f(x)=-1x<0。则对所有x

\int_{-x}^x f(t)\,dt = \int_{-x}^0 f(t)\,dt + \int_0^x f(t)\,dt = -x + x = 0.

但如果我们将f(x)向右平移一个单位得到f(x-1),则对所有x > 1,我们得到

\int_{-x}^x f(t-1)\,dt = \int_{-x}^1 f(t-1)\,dt + \int_1^x f(t-1)\,dt = -(x+1) + (x-1) 
= -2.

由于这是不可接受的,我们可以尝试定义:

\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(t)\,dt.

此时,如果尝试对上面的f积分,我们得到+\infty,因为我们先使用了极限b\to\infty。如果使用相反的极限顺序,我们得到-\infty

这同样也是不可接受的,我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足,依然不是我们想要的,因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如,令f_n(x)=1/n[0,n]上,其它域上等于0。对所有n\int f_n\,dx = 1。但f_n一致收敛于0,因此\lim f_n的积分是0。因此\int f\,dx \not= \lim\int f_n\,dx。即使这是正确的值,可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见,但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的,并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock-Kurzweil integral

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子x_i - x_{i+1},粗略地说,这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]

  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.