黎曼积分

微积分学
	微积分基础函数數列; 級數; 初等函数; ; 极限無窮小量; 收敛数列; 收斂性; 夹挤定理; ; 连续一致连续; 间断点; ; 一元微分导数; 不定积分; 高阶导数; 介值定理; 中值定理; 泰勒公式; 求导法则乘法定则; 除法定则; 倒数定则; 链式法则; 洛必达法则; ; 导数的函数应用单调性; 极值; 驻点; 拐点; 凹凸性; 曲率; ; 一元积分积分的定义黎曼积分; 达布积分; 勒贝格积分; ; 积分表; 求积分的技巧换元积分法; 分部积分法; 三角换元法; 降次积分法; 部分分式积分法; ; 定积分牛顿-莱布尼茨公式; ; 广义积分判别法; 柯西判别法; 阿贝尔判别法; 狄里克雷判别法; 主值; 柯西主值; ; β函数; Γ函数; 数值积分牛顿-寇次公式; 辛普森积分法; ; 多元微积分多元函数微分多元函数; 偏导数; 隐函数; 全微分; 方向導數; 梯度; 泰勒公式; 拉格朗日乘数; ; 多元函数积分多重积分广义多重积分; ; 路径积分; 曲面积分; 格林公式; 高斯公式; 斯托克斯公式; 散度和旋度; ; 微分方程常微分方程分离变数法; 积分因子; 欧拉方法; 柯西-欧拉方程; 伯努利微分方程; 克莱罗方程; 全微分方程; 线性微分方程; ; 差分方程; 拉普拉斯变换法; 偏微分方程拉普拉斯方程; ; 微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积; 平面曲线的切线和弧长; 平面曲线的曲率; 旋转体的体积; 旋转曲面的面积; 曲面的切平面和法线; 空间曲线的切线和法平面; ; 微积分的物理应用运动的位移、加速度; 力所做的功; 物质的质量; 静力矩、惯性矩和重心; ; 微积分的经济应用边际; 弹性、交叉弹性; 收益流的现值和将来值; 成本分析、净资产分析; ;

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在实分析中, 由黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

[编辑] 概念

作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分

对于一在区间 $[a, b]$ 上之给定非负函数 $f (x)$ ，我们想要确定 $f (x)$ 所代表的曲线与 $X$ 坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为

$S=\int_{a}^{b} f(x)dx.$

黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时請注意，如 $f (x)$ 取负值，则相应的面积值 $S$ 亦取负值。

一列黎曼和。右上角的数字表示分割的矩形数。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。

[编辑] 定义

[编辑] 区间的分割

一个闭区间 $[a, b]$ 的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$ 。每个闭区间 $[x i, x i + 1]$ 叫做一个子区间。定义 $λ$ 为这些子区间长度的最大值： $λ = max(x i + 1 - x i)$ ，其中 $0 \le i \le n - 1$ 。

再定义取样分割。一个闭区间 $[a, b]$ 的一个取样分割是指在进行分割 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$ 后，于每一个子区间中 $[x i, x i + 1]$ 取出一点 $x_i \le t_i \le x_{i+1}$ 。 $λ$ 的定义同上。

精细化分割：设 $x_0,\ldots,x_n$ 以及 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ 构成了闭区间 $[a, b]$ 的一个取样分割， $y_0,\ldots,y_m$ 和 $s_0,\ldots,s_{m-1}$ 是另一个分割。如果对于任意 $0 \le i \le n$ ，都存在 $r (i)$ 使得 $x i = y r (i)$ ，并存在 $r(i) \le j \le r(i+1)$ 使得 $t i = s j$ ，那么就把分割： $y_0,\ldots,y_m$ 、 $s_0,\ldots,s_{m-1}$ 称作分割 $x_0,\ldots,x_n$ 、 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

[编辑] 黎曼和

对一个在闭区间 $[a, b]$ 有定义的实值函数 $f$ ， $f$ 关于取样分割 $x_0,\ldots,x_n$ 、 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ 的黎曼和定义为以下和式：

$\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)$

和式中的每一项是子区间长度 $x i + 1 - x i$ 与在 $t i$ 处的函数值 $f (t i)$ 的乘积。直观地说，就是以标记点 $t i$ 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

[编辑] 黎曼积分

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把 $λ$ 趋于0。如此 $[x i, x i + 1]$ 中的函数值才会与 $f (t i)$ 接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下： $S$ 是函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 $ε > 0$ ，都存在 $δ > 0$ ，使得对于任意的取样分割 $x_0,\ldots,x_n$ 、 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ ，只要它的子区间长度最大值 $\lambda \le \delta$ ，就有：

$\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,$

也就是说，对于一个函数 $f$ ，如果在闭区间 $[a, b]$ 上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数 $f$ 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数 $f$ 为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有 $\lambda \le \delta$ 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义: $S$ 是函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 $ε > 0$ ，都存在一个取样分割 $x_0,\ldots,x_n$ 、 $t_0,\ldots,t_{n-1}$ ，使得对于任何比其“精细”的分割 $y_0,\ldots,y_m$ and $s_0,\ldots,s_{m-1}$ ，都有：

$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,$

这两个定义是等价的。如果有一个 $S$ 满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个 $S$ 满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值 $\lambda \le \delta$ 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于 $δ$ ，于是满足

$\left|\sum_{i=0}^{m-1} f(s_i) (y_{i+1}-y_i) - S \right| < \epsilon.\,$

其次，如果有一个 $S$ 满足第二个定义，首先引进达布积分的概念。首先第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割 $x_0,\ldots,x_n$ 使得它的上达布和与下达布和都与 $S$ 相差不超过 $\frac{\epsilon}{2}$ 。令 $r$ 等于 $\max_{0 \le i \le n-1} (M_i-m_i)$ ，其中 $M i$ 和 $m i$ 是 $f$ 在 $[x i, x i + 1]$ 上的上确界和下确界。再令 $δ$ 是 $\frac{\epsilon}{2rn}$ 和 $\min_{0 \le i \le n-1} (x_{i+1}-x_i)$ 中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于 $δ$ 时， $f$ 关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差 $\frac{\epsilon}{2}$ ，所以和 $S$ 至多相差 $ε$ 。

一些非中文的文字因为尚未翻譯而被隐藏，歡迎參與翻譯。

[编辑] 偽裝成黎曼积分的事例

  黎曼积分通常被定义为“达布积分”，这是因为达布积分比黎曼积分更简单，也因为一个函数当且仅当其达布可积时黎曼可积。

Some calculus books do not use general tagged partitions, but limit themselves to specific types of tagged partitions. If the type of partition is limited too much,一些不可积的函数会显得是可积的。 One popular restriction is the use of "left-hand" and "right-hand" Riemann sums. In a left-hand Riemann sum, $t i = x i$ for all $i$ , and in a right-hand Riemann sum, $t i = x i + 1$ for all $i$ . Alone this restriction does not impose a problem: we can refine any partition in a way that makes it a left-hand or right-hand sum by subdividing it at each $t i$ . In more formal language, the set of all left-hand Riemann sums and the set of all right-hand Riemann sums is cofinal in the set of all tagged partitions.

Another popular restriction is the use of regular subdivisions of an interval. For example, the $n'$ th regular subdivision of $[0,1]$ consists of the intervals $[0, 1/n], [1/n, 2/n], \ldots, [(n-1)/n, 1]$ . Again, alone this restriction does not impose a problem, but the reasoning required to see this fact is more difficult than in the case of left-hand and right-hand Riemann sums.

However, combining these restrictions, so that one uses only left-hand or right-hand Riemann sums on regularly divided intervals, is dangerous. If a function is known in advance to be Riemann integrable, then this technique will give the correct value of the integral. But under these conditions the indicator function $I_{\mathbb{Q}}$ will appear to be integrable on $[0,1]$ with integral equal to one: Every endpoint of every subinterval will be a rational number, so the function will always be evaluated at rational numbers, and hence it will appear to always equal one. The problem with this definition becomes apparent when we try to split the integral into two pieces. The following equation ought to hold:

$\int_0^{\sqrt{2}-1}\! I_\mathbf{Q}(x) \,\mathrm{d}x + \int_{\sqrt{2}-1}^1\! I_\mathbf{Q}(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^1\! I_\mathbf{Q}(x) \,\mathrm{d}x .$

If we use regular subdivisions and left-hand or right-hand Riemann sums, then the two terms on the left are equal to zero, since every endpoint except 0 and 1 will be irrational, but as we have seen the term on the right will equal 1.

As defined above, the Riemann integral avoids this problem by refusing to integrate $I_{\mathbb{Q}}$ . The Lebesgue integral is defined in such a way that all these integrals are 0.

[编辑] 黎曼积分的事实

黎曼积分是线性变换；也就是说，如果 $f$ 和 $g$ 在区间 $[a, b]$ 上黎曼可积， $α$ 和 $β$ 是常数，则：

$\int_{a}^{b}( \alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx.$

$[a, b]$ 上的实函数 $f$ 是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

如果 $[a, b]$ 上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

如果 $f n$ 是 $[a, b]$ 上的一个一致收敛序列，其极限为 $f$ ，那么：

$\int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.$

如果一个实函数在区间 $[a, b],$ 上是单调的，则它是黎曼可积的。

[编辑] 黎曼积分的推广

黎曼积分可推广到值属于 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^n$ 的函数。积分是线性定义的，即如果 $\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n)$ ，则 $\int\mathbf{f} = (\int f_1,\,\dots, \int f_n)$ 。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同瑕积分(improper integral)一样。我们可以令

$\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{x\to\infty}\int_{-x}^x f(t)\,dt.$

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果向左或向右平移一个函数，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令 $f (x) = 1$ 若 $x > 0$ ， $f (0) = 0$ ， $f (x) = - 1$ 若 $x < 0$ 。则对所有 $x$

$\int_{-x}^x f(t)\,dt = \int_{-x}^0 f(t)\,dt + \int_0^x f(t)\,dt = -x + x = 0$ .

但如果我们将 $f (x)$ 向右平移一个单位得到 $f (x - 1)$ ，则对所有 $x > 1$ ，我们得到

$\int_{-x}^x f(t-1)\,dt = \int_{-x}^1 f(t-1)\,dt + \int_1^x f(t-1)\,dt = -(x+1) + (x-1) = -2$ .

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

$\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(t)\,dt.$

此时，如果尝试对上面的 $f$ 积分，我们得到 $+\infty$ ，因为我们先使用了极限 $b\to\infty$ 。如果使用相反的极限顺序，我们得到 $-\infty$ 。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令 $f n (x) = 1 / n$ 在 $[0, n]$ 上，其它域上等于0。对所有 $n$ ， $\int f_n\,dx = 1$ 。但 $f n$ 一致收敛于0，因此 $\lim f_n$ 的积分是0。因此 $\int f\,dx \not= \lim\int f_n\,dx$ 。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对瑕积分(improper integral)不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock-Kurzweil integral。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子 $x i - x i + 1$ ，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

[编辑] 相关条目

[编辑] 参考文献

Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.