中值定理

中值定理
微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 积分中值定理 积分第一中值定理 积分第二中值定理 相关条目：微积分学

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理

微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（统）称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一，内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

罗尔中值定理

罗尔定理的几何意义

如果函数 $f(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$，

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$，使得 $f^\prime(\xi)=0$。这个定理称为罗尔定理。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的几何意义

如果函数$f(x)$满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续
2. 在开区间$(a,b)$内可导

那么，存在一點$\xi \in (a,b)$使得

$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \,$

此定理称为拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

柯西中值定理

柯西中值定理的几何意义

如果函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导，
3. 在对任意 $x\in (a,b),g'(x)\neq 0$，

那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi<b)$ 使等式

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

成立。此定理称为柯西中值定理。

积分中值定理

积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

积分第一中值定理

设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 为一连续函数，$g:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 为一正的可积函数，那么存在一点 $\xi\in [a,b]$ 使得

$\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$。

证明

因为 $f$ 是闭区间上的连续函数，$f$ 取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。于是

$mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$。

对不等式求积分，我们有

$m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx$。

若 $\int_a^b g(x)\,dx=0$，则 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0$。$\xi$ 可取 $[a,b]$ 上任一点。

设 $\int_a^b g(x)\,dx>0$，那么

$m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M$。

因为 $m\leq f(x)\leq M$是连续函数，则必存在一点 $\xi\in [a,b]$，使得

$f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}$。

积分第一中值定理推论的几何意义

推论（拉格朗日中值定理的积分形式）

在上式中令$g(x)=1$，则可得出：

设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 为一连续函数，则∃$\xi \in [a,b]$，使

$f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}$

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设$F(x)$在$[a,b]$上可导，$f(x)=F^\prime(x)$，则∃$\xi \in [a,b]$，使

$f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}$

积分第二中值定理

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel 反常 Rieman 积分判别法。

内容

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使

$\int\limits_a^b {f(x)g(x)dx = } f(a)\int\limits_a^\xi {g(x)dx + } f(b)\int\limits_\xi ^b {g(x)dx}$；

退化态的几何意义

第二积分中值定理退化形式的几何意义

令g(x)=1，则原公式可化为：

$\int\limits_a^b {f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)$；

进而导出：

$\int\limits_a^\xi {f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int\limits_\xi^b {f(x)dx}$；

此时易得其几何意义为： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]， 即S[I]=S[II]

参见

• 罗尔定理
• 柯西中值定理
• 介值定理
• 极值定理