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中值定理

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中值定理

相关条目微积分学

微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

實分析中,中值定理(mean value theorem)描述了連續光滑曲線在兩點之間的光滑性:

f(x)為連續且光滑,任取其上兩點(a, f(a))(b, f(b))a < b,那麼在這兩端點之間必定存在一點(c, f(c)), a < c < b,其切線斜率f'(c)等於該二端點割線的斜率:f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}。連續函數任二點之間的連續性,則由介值定理來描述。


中值定理包括微分中值定理积分中值定理

微分中值定理[编辑]

微分中值定理分为罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理,又(统)称为微分学基本定理有限改变量定理有限增量定理,是微分学的基本定理之一,内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点,它的斜率与整段曲线平均斜率相同(严格的数学表达参见下文)。

罗尔中值定理[编辑]

罗尔定理的几何意义

如果函数f(x)满足

  1. 在闭区间[a,b]连续
  2. 在开区间(a,b)内可导;
  3. 在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)

那么在(a,b)内至少有一点\xi (a<\xi<b),使得f^\prime(\xi)=0。这个定理称为罗尔定理

拉格朗日中值定理及正式叙述[编辑]

拉格朗日中值定理的几何意义

f:[a,b]\rightarrow \mathbf R为闭区间[a,b]上的一个连续函数,且在开区间(a,b)可导,其中a<b那么在(a,b)上存在某个c使得

f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

此定理称为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在一个更一般的条件下仍然成立。只需假设f:[a,b]\rightarrow \mathbf R[a,b] 连续,那么在(a,b)内对任意x极限

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

存在,为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限,则极限等于f(x).定理的这个版本的应用的一个例子由从xx^{1/3}的实值三次方根函数映射给出,其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可导函数是复变量的而不是实变量的,上面叙述的这个定理就不正确了。例如,对全部实数x定义f(x)=e^{ix}。那么

f(2\pi)-f(0)=0=0(2\pi - 0)

|f'(x)| = 1时。

柯西中值定理[编辑]

柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它叙述为:如果函数fg都在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a, b)上可导,那么存在某个c ∈ (a,b),使得

柯西定理的几何意义
(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,

当然,如果g(a) ≠ g(b)并且g′(c) ≠ 0,这等价于:

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot

在几何上,这表示曲线

\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\t&\mapsto&\bigl(f(t),g(t)\bigr),\end{array}

的图像存在平行于由(f(a),g(a))和(f(b),g(b))确定的直线的切线。但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线,因为可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点似乎曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

t\mapsto(t^3,1-t^2),

在区间[−1,1]上,曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. (拉格朗日)中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

积分中值定理[编辑]

积分中值定理分为积分第一中值定理积分第二中值定理,它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等(严格表述在下面)。

积分第一中值定理[编辑]

f:[a,b]\rightarrow \mathbb R为一连续函数,g:[a,b]\rightarrow \mathbb R要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号,那么存在一点\xi\in [a,b]使得

\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx

证明[编辑]

在不失去一般性的条件下,设对所有xg(x)≥0; 因为f是闭区间上的连续函数,f取得最大值M和最小值m。于是

mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)。对不等式求积分,我们有
m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx。若\int_a^b g(x)\,dx=0,则\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0\xi可取[a,b]上任一点。

若不等于零那么\int_a^b g(x)\,dx>0

m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M 。因为m\leq f(x)\leq M是连续函数,则必存在一点\xi\in [a,b],使得
f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}

g(x)<0的情况按同样方法证明。

积分第一中值定理推论的几何意义

推论(拉格朗日中值定理的积分形式)[编辑]

在上式中令g(x)=1,则可得出:

f:[a,b]\rightarrow \mathbf R为一连续函数,则∃\xi \in [a,b],使

f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}

它也可以由拉格朗日中值定理推出:

F(x)[a,b]上可导,f(x)=F^\prime(x),则∃\xi \in [a,b],使

f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}

积分第二中值定理[编辑]

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立,却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Rieman积分判别法

内容[编辑]

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调,则存在[a,b]上的点ξ使

\int\limits_a^b {f(x)g(x)dx = } f(a)\int\limits_a^\xi  {g(x)dx + } f(b)\int\limits_\xi ^b {g(x)dx}

退化态的几何意义[编辑]

第二积分中值定理退化形式的几何意义

令g(x)=1,则原公式可化为:

\int\limits_a^b {f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)

进而导出:

\int\limits_a^\xi {f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int\limits_\xi^b {f(x)dx}

此时易得其几何意义为: 能找到ξ∈[a,b],使得S[红]+S[蓝]=S[阴影],即S[I]=S[II]

参见[编辑]