换元积分法

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

换元积分法是求积分的一种方法。它是由链式法则微积分基本定理推导而来的。

第一类换元法[编辑]

f(x)\ 为可积函数,g=g(x)\ 为连续可导函数,则有:


\int^\beta_\alpha f(g)g'\mathrm{d}x=\int^{g(\beta)}_{g(\alpha)}f(g)\mathrm{d}g

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法[编辑]

f(x)\ 为可积函数,x=x(g)\ 为单调的连续可导函数,则有:

\int^\beta_\alpha f(x)\mathrm{d}x=\int^{x^{-1}(\beta)}_{x^{-1}(\alpha)}f(x(g))x'\mathrm{d}g

在遇到类似\sqrt{x^2-a^2}\sqrt{x^2+a^2}\sqrt{a^2-x^2}的式子时,通常采取分别令x= \pm a\sec tx= \pm a\tan tx= \pm a\sin t进行换元[1],得到关于t的一个原函数。如果要计算不定积分,则再由xt的关系还原即可;如果要计算定积分,只需在变换后的积分限\alpha\beta下计算相应的定积分即可。

例子[编辑]

计算积分\int^2_0x\cos(x^2+1){\rm{d}}x

\begin{alignat}{2}
{\rm{d}}(x^2+1)=2x{\rm{d}}x&\iff{\rm{d}}x=\frac{{\rm{d}}(x^2+1)}{2x}\\
\therefore\int^2_0x\cos(x^2+1){\rm{d}}x&=\frac{\int^2_02x\cos(x^2+1){\rm{d}}x}{2}\\
&=\frac{\int_{1}^5\cos(x^2+1){\rm{d}}(x^2+1)}{2}\\
&=\frac{\sin5-\sin1}{2}\\
\end{alignat}

其中{\rm{d}}x換元為{\rm{d}}(x^2+1)後,\int^2_0亦變為\int^5_1,是因為其形式為黎曼-斯蒂尔杰斯积分,但在黎曼-斯蒂尔杰斯积分中變數的取值範圍應該還是x的取值範圍,而不是g(x)的取值範圍。}}

注释[编辑]

  1. ^ 换元的过程需要注意指明新变量的取值范围。

参见[编辑]