二阶导数的对称性

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数学中,二阶导数的对称性(也称为混合导数的相等)指取一个 n 元函数

f(x_{1},x_{2}, \dots ,x_{n})

偏导数可以交换。如果关于x_{i}的偏导数用一个下标i表示,则对称性断言二阶偏导数f_{ij}满足等式

f_{ij}=f_{ji}

从而它们组成一个 n×n 对称矩阵。有时这也称为杨定理Young's theorem)。

黑塞矩阵是典型对称的[编辑]

f 的二阶偏导数称为 f黑塞矩阵主对角线之外的元素是混合导数;即关于不同两个变量相继之导数。

在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵;但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述,在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于 f 的一个充分条件使其成立。

对称性的正式表述[编辑]

用符号表示,对称性说,例如

\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right).

这个等式也可写成

\partial_{xy} f = \partial_{yx} f.

或者,此对称性可利用微分算子 Di 写成一个代数论述,Di 是关于 xi 取偏导数:

Di . Dj = Dj . Di.

由这个关系得知由 Di 生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立,从而我们可取 xi多项式为定义域。事实上光滑函数也行。

克莱罗定理[编辑]

数学分析中,克莱罗定理Clairaut's theorem)或施瓦兹定理Schwarz's theorem[1],以亚历克西·克莱罗赫尔曼·施瓦兹命名,断言如果

f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

 \mathbb{R}^n 中任何一点  (a_1, \dots, a_n),连续二阶偏导数,则对 \forall i, j \in \mathbb{N} \backslash \{0\}: i,j \leq n,

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).

换句话是,这个函数在那一点的偏导数交换。确立这个定理的一个简单方法(当n = 2, i = 1, 且j = 2,很容易推到一般)是运用格林定理f梯度

克莱罗常数[编辑]

这个定理的一个副产品是克莱罗常数Clairaut's constant,亦称卡罗拉公式或克莱罗参数),涉及球面大圆上一点的维度方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角,或弧道路\widehat{\Alpha}\,\!

\sin(\widehat{\Alpha})=\Big|\cos(\phi_q)\sin(\widehat{\alpha}_q)\Big|.\,\!

分布理论描述[编辑]

也可利用分布distribution)理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数(假设可积)可以定义为一个分布。第二分部积分将对称性问题丢给测试函数,这是光滑的当然满足对称性。从而,在分布的意义下,对称性总满足。(另一个方法,若定义了函数的傅立叶变换,注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子)。

对称性的要求[编辑]

当函数不满足克莱洛定理的前提的时候,例如其导数不连续,则不存在对称性。

这个函数f(x,y)在它的原点没有对称的二阶导数

展示非對稱的一個例子如下:

f(x,y) = \begin{cases} 
                     \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} & \mbox{ for } (x, y) \ne (0, 0)\\
                      0                            & \mbox{ for } (x, y) = (0, 0).
                \end{cases}

尽管这个函数处处连续,但它的代数导函数在原点没有定义。沿着x轴的其他地方y的导数为\partial_y f|_{(x,0)}=x,所以

\partial_x\partial_y f|_{(0,0)} =
\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac { \partial_y f|_{(\epsilon,0)}-\partial_y f|_{(0,0)} } \epsilon = 1.

反之亦然,沿着y轴的其他地方x的导数为\partial_x f|_{(0,y)}=-y,所以\partial_y\partial_x f|_{(0,0)} = -1。那就是说,在(0,0)处\partial_{xy}f\ne\partial_{yx}f,尽管 f 的混合導數存在,且在 (0,0) 之外處處連續。注意到它與克莱罗定理并不矛盾,因為導數在 (0,0) 不連續。 一般地,極限運算的交換未必交換,兩個變量情形下,在 (0, 0) 附近考慮

f(h,k) - f(h,0) - f(0,k) + f(0,0)

的兩個極限過程,先令 h → 0 以及先令 k → 0。這兩個過程未必交換(參見極限運算的交換):看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的,這類例子屬于實分析中的精細理論,逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候,二阶导数值可以在任意点集中的改变,只要Lebesgue测度为0。由于在这个例子中,黑塞矩阵在(0,0)外所有点对称,Hessian矩阵看作施瓦茨分布是对称的事实,不存在矛盾。

李理论[编辑]

更高级的一个讨论是这样的:考虑一阶微分算子 Di欧几里得空间中的无穷小算子。即 Di 在某种意义下生成平行于 xi-轴平移单参数群。显然这些群互相交换,从而我们希望无穷小生成元也交换;李括号

[Di, Dj] = 0

便是其反映的方式。或者说,一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。

参考文献[编辑]

  1. ^ James, R.C. (1966) Advanced Calculus. Belmont, CA, Wadsworth.