二阶导数的对称性

数学中，二阶导数的对称性（也称为混合导数的相等）指取一个 n 元函数

f(x₁, x₂, ..., x_n)

的偏导数可以交换。如果关于 x_i 的偏导数用一个下标表示，则对称性断言二阶偏导数 f_ij 满足等式

f_ij = f_ji

从而它们组成一个 n×n 对称矩阵。有时这也称为杨定理（Young's theorem）。

黑塞矩阵是典型对称的

f 的二阶偏导数称为 f 的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。

在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵；但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述，在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于 f 的一个充分条件使其成立。

对称性的正式表述

用符号表示，对称性说，例如

$\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) = \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right).$

这个等式也可写成

$\partial_{xy} f = \partial_{yx} f.$

或者，此对称性可利用微分算子 D_i 写成一个代数论述，D_i 是关于 x_i 取偏导数：

D_i . D_j = D_j . D_i.

由这个关系得知由 D_i 生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立，从而我们可取 x_i 的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。

克莱罗定理

在数学分析中，克莱罗定理（Clairaut's theorem）或施瓦兹定理（Schwarz's theorem），以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名，断言如果

$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$

在 $\mathbb{R}^n$ 中任何一点 $(a_1, \dots, a_n),$ 有连续二阶偏导数，则对 $1 \leq i,j \leq n,$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).$

换句话是，这个函数在那一点的偏导数交换。

克莱罗常数

这个定理的一个副产品是克莱罗常数（Clairaut's constant，亦称卡罗拉公式或克莱罗参数），涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角，或弧道路，$\widehat{\Alpha}\,\!$：

$\sin(\widehat{\Alpha})=\Big|\cos(\phi_q)\sin(\widehat{\alpha}_q)\Big|.\,\!$

分布理论描述

也可利用分布（distribution）理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数（假设可积）可以定义为一个分布。第二分部积分将对称性问题丢给测试函数，这是光滑的当然满足对称性。从而，在分布的意义下，对称性总满足。（另一个方法，若定义了函数的傅立叶变换，注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子）。

可能非对称

事實上在最壞的情況下存在對稱性的反例。兩個變量情形下，在 (0, 0) 附近考慮

f(h, k) − f(h, 0) − f(0, k) + f(0, 0)

的兩個極限過程，先令 h → 0 以及先令 k → 0。這兩個過程未必交換（參見極限運算的交換）：看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的，這類例子屬于實分析中的精細理論。

$f(x,y)$

展示非對稱的一個例子如下。注意到它與克莱罗定理并不矛盾，因為導數在 (0,0) 不連續。

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} & \mbox{ for } (x, y) \ne (0, 0)\\ 0 & \mbox{ for } (x, y) = (0, 0). \end{cases}$

則 f 的混合導數存在，且在 $(0,0)$ 之外處處連續。而且在 $(0,0)$

$\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) \ne \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right).$

李理论

更高级的一个讨论是这样的：考虑一阶微分算子 D_i 为欧几里得空间中的无穷小算子。即 D_i 在某种意义下生成平行于 x_i-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换，从而我们希望无穷小生成元也交换；李括号

[D_i, D_j] = 0

便是其反映的方式。或者说，一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。