单参数群

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数学中,一个单参数群one-parameter group)或称单参数子群one-parameter subgroup)通常表示从实数 R(作为加法群)到另一个拓扑群 G 的一个连续群同态

φ : RG.

这意味着它严格说来其实不是一个;如果 φ 是单射,则其像 φ(R) 是 G 的一个同构于加法群 R 的子群。这就是说,我们只知道

φ (s + t) = φ(s)φ(t)

其中 s, t 是群在 G 中的参数。我们可能有

φ(s) = e, G 中的单位元

对某个 s ≠ 0 成立。譬如 G单位圆是这可能发生,且

φ(s) = eis.

在这种情形,φ 的由 2π 乘以整数组成。

一个单参数群在一个集合上的作用称为

一个技术复杂性在于 φ(R) 作为 G子空间的拓扑可能比 R 上的要粗糙;这在 φ 是单射时可能发生。譬如考虑当 G 是一个环面 T,φ 是沿着一个无理斜率缠绕的直线。

所以一个单参数群或单参数子群需区别于一个群或一个子群自身,有三个原因:

  1. 它有一个确定的参数化
  2. 群同态可能不是单射,
  3. 诱导拓扑可能不是实线上的标准拓扑。

这样的单参数群在李群理论具有基本重要性,其中相伴的李代数中每一个元素定义了这样一个同态,指数映射。在矩阵群的情形,它由矩阵指数给出。

另一个重要情形出现于泛函分析G 是一个希尔伯特空间中的酉算子。参见单参数酉群的斯通定理Stone's theorem on one-parameter unitary groups)。

鲍尔·科恩Paul Cohn)在其1957年专题论文《李群》中58页,给出如下定理:

任何连通一维李群解析同构于实数加法群  \mathfrak{R} 或实数模 1 加法群  \mathfrak{T}。特别地,任何一位李群局部同构于 R

物理[编辑]

物理中,单参数子群描述了动力系统[1] 而且,只要一个物理定律系统满足一个单参数群可微对称,则根据诺特定理有一个守恒量

狹義相對論裏,快度參數可以用來幫助比較或區別幾個不同的慣性參考系。在相對論的運動學理論和動力學理論裏,快度替代了速度的地位。由於快度是無界的,快度的單參數群是非緊緻的。快度的概念是由 (Alfred Robb) 於 1911 年提出,是十九世紀雙曲正規化四元量 (hyperbolic versor) 概念的重新包裝。James Cockle威廉·金頓·克利福德Alexander Macfarlane ,這幾位數學物理學家,都曾經在他們的作品中,使用過一個等價的笛卡兒平面映射。這映射的算子是個雙曲複數

\cosh a+r\sinh a\,\!

其中,a\,\! 是雙曲正規化四元量,r r=+1\,\!

請注意,r\,\!虛數單位類似。但是,r\,\! 不是虛數單位。並且, r\ne \pm 1\,\!

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Main Principles and Their Applications. Springer-Verlag, 1995.