# 速度

$\bar{\boldsymbol{v}} = \frac{ \Delta \boldsymbol{r} }{ \Delta t } \,$

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \,$

## 定义

$\bar{\boldsymbol{v}} = \frac{ \Delta \boldsymbol{r} }{ \Delta t } \,$

$\boldsymbol{v}(t_0) =\lim_{\Delta t \to 0}{{ \boldsymbol{r} (t_0+\Delta t)- \boldsymbol{r} (t_0)} \over \Delta t}= \left.\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0} \,$

## 速度的分解

### 直角坐标系

$\boldsymbol{r} =x \boldsymbol{e}_{x} + y \boldsymbol{e}_{y} + z \boldsymbol{e}_{z}$

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{x} + \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{y} + \frac{\mathrm{d} z }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{z} = v_x \boldsymbol{e}_{x} + v_y \boldsymbol{e}_{y} + v_z\boldsymbol{e}_{z}$

### 极坐标

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( r \boldsymbol{e}_{r} \right) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta}$

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{ \rho } + \rho \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta} + \frac{\mathrm{d} z }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{z}$

### 球坐标

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( r \boldsymbol{e}_{r} \right) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_{r} }{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{r} + r \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d}t} \boldsymbol{e}_{\theta} + r \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}t} \sin \theta \boldsymbol{e}_{\varphi}$

### 自然坐标

$\boldsymbol{v} = v \boldsymbol{e}_{T}$[7]

## 相对速度

$\boldsymbol{v}_{A/B} = \left(\frac{v_x - u_x}{1 - \frac{v_x u_x}{c^2}}, \frac{v_y}{1 - \frac{v_x u_x}{c^2}}\sqrt{1 - \frac{u_x^2}{c^2} }, \frac{v_z}{1 - \frac{v_x u_x}{c^2}}\sqrt{1 - \frac{u_x^2}{c^2} } \right)$

$v = \frac{c/2 -(-c/2)}{1 - \frac{(c/2)(-c/2)}{c^2}} = \frac{c}{1+1/4} = \frac45 c$

## 参考资料

1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 漆安慎，杜婵英. 普通物理学教程：力学. 北京: 高等教育出版社. 第2版 (2005年6月1日)年. ISBN 9787040166248 （中文）.
2. ^ 2.0 2.1 Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands著王子辅、李洪芳、钟万蘅译. 费恩曼物理学讲义（第1卷）. 上海科学技术出版社. 第2版 (2005年6月)年. ISBN 9787532378784 （中文）.
3. ^ 质点运动学：矢量描述和直角坐标系描述. 北京师范大学物理系. [2012年8月9日] （中文）.
4. ^ 质点运动的极坐标描述. 北京师范大学物理系. [2012年8月9日] （中文）.
5. ^ 质点运动的柱坐标描述. 北京师范大学物理系. [2012年8月9日] （中文）.
6. ^ 质点运动的球坐标描述. 北京师范大学物理系. [2012年8月9日] （中文）.
7. ^ 质点运动的自然坐标描述. 北京师范大学物理系. [2012年8月9日] （中文）.
8. ^ 洛伦兹变换. 中山大学理工学院. [2012年8月9日] （中文）.