动能

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車子在斜坡上的位置不同,其動能與势能位能)亦不相同。

动能是物质运动时所得到的能量。它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的。由于运动是相对的,动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率,也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳(J),以基本单位表示是千克米平方每秒平方(kg m2 s-2[1]。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

古典力学[编辑]

古典力学,一个质点(一个很小的物体,它的大小基本可以忽略)或者一个没有自转的刚体的动能、速率质量的关系是:

E_k = \frac{1}{2}mv^2

其中E_k代表动能,m代表质量v代表速率[1]

而当一个物体的质量不变,一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上

一个物体的动能与動量的关系为:

E_k = \frac{p^2}{2m}

其中E_k代表动能,p代表动量的数值及m代表质量。

推导与定义[编辑]

我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止,在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的

W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}

其中W代表功,\vec{F}代表物体所受到的总共的作用力,\vec{s}代表物体的位移。

根据牛顿第二定律,

\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}

其中\vec{F}代表\vec{p}代表动量t代表时间

动量、速度与质量的关系为:

\vec{p}=m\vec{v}

其中\vec{p}代表动量,m代表质量\vec{v}代表速度

在牛顿力学中,一个物体的质量不随速率的改变而改变。

W = \int \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \vec{v} \cdot d\vec{v} =\frac{1}{2} \int m d (\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{1}{2}mv^2 + C_0

其中W代表\vec{p}代表动量t代表时间\vec{v}代表速度v代表速率m代表质量C_0代表不定常数。当物体的速率为零时,其动能亦为零。因此,

E_k = \frac{1}{2}mv^2

其中E_k代表动能,m代表质量及v代表速率。

自转的物体[编辑]

如果一个物体自转,它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

E_r = \frac{1}{2} \int v^2 dm = \frac{1}{2} \int r^2 \omega^2 dm = \frac{1}{2} \omega^2 \int r^2 dm = \frac{1}{2} I \omega^2

其中E_r代表自转动能,v代表速率\omega代表角速度m代表质量r代表质点到旋转轴间的距离

相对论[编辑]

狭义相对论中,我们必须改变线性动量的表达式。

使用m表示静止质量, v 和 v 分别表示物体的速度和速率, 而 c 表示真空中的光速,我们假设线性动量\mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}, 其中\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}

分部积分得到

E_\text{k} = \int \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p}= \int \mathbf{v} \cdot d (m \gamma \mathbf{v}) = m \gamma \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - \int m \gamma \mathbf{v} \cdot d \mathbf{v} = m \gamma v^2 - \frac{m}{2} \int \gamma d (v^2)

回忆\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\!,我们得到:

\begin{align}
E_\text{k} &= m \gamma v^2 - \frac{- m c^2}{2} \int \gamma d (1 - v^2/c^2) \\
    &= m \gamma v^2 + m c^2 (1 - v^2/c^2)^{1/2} - E_0
\end{align}

其中 E0 作为积分常数。 于是:

\begin{align}
E_\text{k} &= m \gamma (v^2 + c^2 (1 - v^2/c^2)) - E_0 \\
    &= m \gamma (v^2 + c^2 - v^2) - E_0 \\
    &= m \gamma c^2 - E_0
\end{align}

通过观察\mathbf{v }= 0 , \ \gamma = 1\! E_\text{k} = 0 \!,得到积分常数 E0 应为

E_0 = m c^2 \,

并给出通常的公式

E_\text{k} = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2

極限[编辑]

\lim_{v\rightarrow c}E_\text{k}=\infty

當速度趋向光速,動能趋向無限,因此限制了速度的上限為光速,體現了相對論的自恰性。


利用泰勒公式

 
\begin{align}
E_\text{k} &= \frac{m c^2}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} - m c^2\\
           &= mc^2 (1 + \frac{1}{2} v^2/c^2  + \frac{3}{8} v^4/c^4 +\cdots) - m c^2\\
           &\approx mc^2 (1 + \frac{1}{2} v^2/c^2) - m c^2\\
           &= \frac{1}{2} m v^2
\end{align}

低速情況下,相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 赵志敏. 高中物理竞赛教程.基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月: P139. ISBN 978-7-309-08251-7. 

參見[编辑]