功

功（英语：work），也叫机械功，是物理学中表示力对位移的累积的物理量，指从一种物理系统到另一种物理系统的能量转变，尤其是指通过使物体朝向力的方向移动的力的作用下能量的转移。与机械能相似的是，功也是标量，国际单位制单位为焦耳。

“功”一词最初是法国数学家贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利创造的。

由动能定理，若一个外力作用于一物体使之动能从 E_k0 增至 E_k，那么，此力所做的机械功为：

$W = \Delta E_k = E_{k} - E_{k0} = \tfrac12 m (v^2 - v_0^2) \,\!$

其中m是物体的质量，v是物体的速度。

机械功就是力与位移的內積：

$W = \vec{F}\cdot \vec{d}$

若力与位移的夹角小于直角，则机械功为正，亦称为力作正功。若力与位移的夹角大于直角，则机械功为负，或力作负功，或物体克服力作功。

若力的方向与位移方向垂直，则此力不做功：

$W = 0$

简介

球员对球作正功，使其动能增加。

即使存在力，也可能没有做功。例如，在匀速圆周运动中，向心力没有做功，因为做圆周运动的物体的动能没有发生变化。同样的，桌上的一本书，尽管桌对书有支持力，但因没有位移而没有做功。

热传导不被认为是做功，因为能量被转化成了微观原子的振动，而非宏观的位移。

单位

国际单位制中功的单位为焦耳（J）。焦耳被定义为用1牛顿的力对一物体使其发生1米的位移所做的机械功的大小。量纲相同的单位牛·米有时也使用，但是一般牛·米用于力矩，使其跟功和能区别开。

非国际单位制单位包括尔格、英尺·磅等。

数学计算

力与位移

力与位移都是矢量。功是力与位移的内积，為純量。

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos\theta$           (1)

其中$\theta$ 是力矢量和位移矢量的夹角。

为使此式正确，力须为常矢量，路径须为一条直线。

如力随时间变化或路径不为直线，上式不再适用，此时需使用曲线积分。故功的一般公式为：

$W = \int_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{x}$             (2)

其中

$\textstyle _C$ 是路径；

$\vec F$ 是力矢量；

$\vec x$ 是位移矢量。

表达式 $\delta W = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s}$ 是一个非恰当微分，$\textstyle{ W_C}$ 与路径有关，求微分后不能得到$\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{x}$。

非零力可以不做功，这一点与冲量不同。冲量是力对时间的累积。冲量是矢量，所以圆周运动时虽向心力不做功，但产生了对物体的非零冲量。

力矩

力矩所做功可由下式计算得到：

$W= \tau \theta\$

其中$\tau$为力矩。

参考

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers 6th ed. Brooks/Cole. 2004. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics 3rd ed., extended version. W. H. Freeman. 1991. ISBN 0-87901-432-6.