拉格朗日方程

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拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力學的主要方程，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程的功能相等於牛頓力學中的牛頓第二定律。

目录

[编辑] 定義

假設一個物理系統符合完整系統與單演系統的要求，則拉格朗日方程成立：

\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\! ；

這裏，\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\! 是拉格朗日量、\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)\,\! 是廣義坐標、是時間 t\,\! 的函數、\dot{\mathbf{q}} = \left( \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{N} \right)\,\! 是廣義速度。

[编辑] 導引

一般來說，有三種方法可以導引出拉格朗日方程。我們可以用達朗伯特原理導引出拉格朗日方程（參閱達朗伯特原理）。我們也可以從哈密顿原理導引出拉格朗日方程（參閱哈密顿原理）。最簡明地，我們可以用歐拉-拉格朗日方程來導引：

設定

\mathbf{y}(x)=(y_1(x),\ y_2(x),\ \ldots, y_N(x))\,\! ，
\dot{\mathbf{y}}(x)=(\dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2(x),\ \ldots,\ \dot{y}_N(x))\,\! ，
f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=f(y_1(x),\ y_2(x),\ \ldots,\ y_N(x),\ \dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2(x),\ \ldots,\ \dot{y}_N(x),\ x)\,\! 。

若 \mathbf{y}(x)\in(C^1[a,\ b])^N\,\! 使泛函 J(\mathbf{y})=\int_a^bf(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)dx\,\! 取得局部極值，則在區間 (a,\ b)\,\! 內對於所有的 i=1,\ 2,\ \ldots,\ N\,\! ，歐拉-拉格朗日方程成立：

\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial \dot{y}_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x) - \frac{\partial}{\partial y_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=0\,\! 。

現在，執行下述变换：

設定不相依變數 x\,\! 為時間 t\,\! ，
設定函數 y_i\,\! 為廣義坐標 q_i\,\! ，
設定泛函 f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\! 為拉格朗日量 \mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\! ，

則可得到拉格朗日方程

\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\! 。
  • 為了滿足這变换的正確性，廣義坐標必須互不相依，所以，這系統必須是完整系統。
  • 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義勢，所以，這系統必須是單演系統。

[编辑] 半完整系統

主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論 (formalism) 來分析。假若，一個非完整系統的約束可以用以下方程表示：

g_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}})=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\! ；

則稱此系統為半完整系統[1]。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子 \lambda_i\,\!

\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i=0\,\! ；

這裏，\lambda_i=\lambda_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\! 是未知函數。

由於這 N\,\! 個廣義坐標中，有 n\,\! 個相依的廣義坐標，我們不能直接將泛函 f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\! 变换為拉格朗日量 \mathcal{L}\,\! ；我們必須加入拉格朗日乘子，將泛函 f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\! 变换為 \mathcal{L}+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\,\! 。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程

\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \boldsymbol{\mathcal{F}}\,\! 。

這裏，\boldsymbol{\mathcal{F}}\,\! 是廣義力：

\boldsymbol{\mathcal{F}}=\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right) - \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right)\right]\,\! 。

這 N\,\! 個廣義力運動方程加上 n\,\! 個約束方程，供給我們 N+n\,\! 個方程來解 N\,\! 個未知廣義坐標與 n\,\! 個拉格朗日乘子。

[编辑] 實例

在這個段落，我們將應用拉格朗日方程於兩個實例。第一個實例顯示出，用牛頓方法與拉格朗日方法，所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

[编辑] 自由落體

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於地心引力 F=mg\,\! 作用於此粒子，應用牛頓第二定律，我們得到運動方程

\ddot x = g\,\! 。

這裏，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能 T\,\! 是

T = \frac{1}{2} m v^2\,\! ，

位勢 V\,\! 是

V = - m g x\,\! ；

所以，拉格朗日量 \mathcal{L}\,\! 是

\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x\,\! 。

帶入拉格朗日方程，

0 = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}= m\frac{d \dot x}{dt} - mg\,\! 。

運動方程是

\ddot x = g\,\! ；

與牛頓方法的運動方程相同。

[编辑] 具有質量的移動支撐點的簡單擺

思考一個簡單擺系統。系統的 x-軸平行於地面，y-軸垂直於 x-軸，指向地面。擺錘 P 的質量是 m\,\! ，位置是 (x,\ y)\,\! 。擺繩的長度是 l\,\! 。擺的支撐點 Q 的質量是 M\,\! 。這支撐點 Q 可以沿著一條平行於 x-軸的直線移動。點Ｑ的位置是 (X,\ 0)\,\! 。擺繩與 y-軸的夾角是 \theta\,\! 。那麼，動能是

T = \frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)\,\! ，

位勢為

V= - mgy\,\! 。

所以，拉格朗日量是

\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{X}^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+mgy\,\! 。

約束方程為

x=X+l\sin\theta\,\! 、
y=l\cos\theta\,\! 。

代入拉格朗日量方程,

\mathcal{L}=\frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot{X} + l \dot\theta\cos\theta\right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right]+ mgl\cos\theta\,\! 。

特別注意，在這裏，我們用的廣義坐標是 X\,\! 與 \theta\,\! 。用拉格朗日方程，經過微分運算，對於 X\,\! 坐標，可以得到

\frac{d}{dt}\left[ (M+m) \dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta\right]=0\,\! 。

運動方程為

(M+m)\ddot{X}+ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta = 0 \,\! 。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標 X\,\! ，稱 X\,\! 為循環坐標，而其相對應的廣義動量 p_X\,\! 是常數 K_1\,\! ：

p_X=(M+m)\dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta=K_1\,\! 。

對於 \theta\,\! 坐標，可以得到

\frac{d}{dt}\left[m(l^2 \dot{\theta}+\dot{X}l\cos\theta)\right]+m(\dot{X}l\dot{\theta}+gl) \sin\theta=0\,\! ；

所以，運動方程為

\ddot{\theta}+\frac{\ddot{X}}{l}\cos\theta+\frac{g}{l}\sin\theta=0\,\! 。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地確認所有的相關作用力。這會是既困難又容易出錯的工作。

[编辑] 參閱

[编辑] 參考文獻

  1. ^ （English）Goldstein, Herbert（1980）．Classical Mechanics，3rd，United States of America：Addison Wesley，pp. 46-47．ISBN 0201657023． 
来自“http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F”
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