非完整系統

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古典力學裏,假如,一個系統有任何約束非完整約束,則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為

 f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0

這裏,f是每一個粒子P_i之位置x_i和時間t的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

廣義座標的轉換[编辑]

完整約束方程式與位置、時間有關,與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數x_d是完整約束函數f_k裏的一個參數,現在指定除去x_d。重新編排上述約束方程式,求出表示x_d的函數g_k

x_d=g_k(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots,\ x_N,\ t)

將函數g_k代入所有提到x_d的方程式。這樣,可以除去所有指定變數x_d

假設一個物理系統原本的自由度N。現在,將h個完整約束作用於此系統。那麼,這系統的自由度減少為m=N - h。可以用m個獨立廣義座標(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下:

x_i=x_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N

換句話說,由於非完整約束無法依照上述方法,來除去其所含廣義座標,完全描述非完整系統,所需要的廣義座標數目,大於自由度。

微分形式表示[编辑]

約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第i個約束的微分形式的約束方程式:

\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0

這裏,c_{ij}c_{i}分別為微分dq_jdt的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說,有一個函數f_i(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ t)=0的全微分滿足下述等式:

df_i=\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0

那麼,此約束是完整約束;否則,此約束是非完整約束。因此,所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以,假若知道一個約束的微分形式的約束方程式,這約束到底是完整約束,還是非完整約束,需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

半完整系統[编辑]

表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此,非完整系統也比較難分析,只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如,一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示:

f_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N)=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n

則稱此系統為半完整系統[1];這裏,\dot{q}_j廣義速度

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說,分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子\lambda_i

\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i=0

這裏,\lambda_i=\lambda_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N,\ t)是未知函數。

假設哈密頓原理成立,則下述方程式成立:

\delta\int_{t_1}^{t_2}\ L\ dt=0

這裏,L拉格朗日量t_1t_2分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算,可以得到方程式

\int_{t_1}^{t_2}\  \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)\right)\delta q_j \ dt=0

由於這N個廣義座標中,仍舊有n個不獨立廣義座標,不能將拉格朗日方程式提取出來;必須加入拉格朗日乘子項目:

\delta\int_{t_1}^{t_2}\ \left(L+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i\right)\ dt=0

經過變分法運算,可以得到方程式

\int_{t_1}^{t_2}\  \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) + \mathcal{F}_j\right)\delta q_j \ dt=0 ;

這裏,\mathcal{F}_j廣義力j分量:

\mathcal{F}_j=\sum_i\ \left[\frac{\partial(\lambda_i f_i)}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (\lambda_i f_i)}{\partial \dot{q}_j}\right)\right]

雖然還有n個不獨立廣義座標,仍舊可以調整n加入的拉格朗日乘子,使總和公式內的每一個虛位移\delta q_j的係數都等於0。因此,

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j}=\mathcal{F}_j

N個方程式加上n個約束方程式,給予了N+n個方程式來解N個未知廣義座標與n個拉格朗日乘子。

實例[编辑]

非完整系統至少存在於以下三個狀況:

  1. 物體在做滾動運動。
  2. 系統的約束包括不等式
  3. 系統的約束與速度有關。

參閱[编辑]

拉格朗日力學
哈密頓力學
完整系統
定常系統
單演系統
保守系統

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (English).