非完整系統

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在經典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為

$f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0\,\!$ ；

這裏， $f\,\!$ 是每一個粒子 $P_i\,\!$ 之位置 $x_i\,\!$ 和時間 $t\,\!$ 的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

[编辑] 廣義座標的轉換

完整約束方程式只相依於位置與時間；不相依於速度。完整約束方程式可以，幫助我們很簡易地，除去相依的變數。假設變數 $x_d\,\!$ 是完整約束函數 $f_k\,\!$ 裏的一個參數；我們想要除去 $x_d\,\!$ 。讓我們編排上述約束方程式，求出表示 $x_d\,\!$ 的函數 $g_k\,\!$ ：

$x_d=g_k(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots,\ x_N,\ t)\,\!$ 。

將函數 $g_k\,\!$ 代入所有提到 $x_d\,\!$ 的方程式。這樣，可以除去所有的相依變數 $x_d\,\!$ 。

假設一個物理系統原本的自由度是 $N\,\!$ 。現在，將 $h\,\!$ 個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為 $m=N - h\,\!$ 。我們可以用 $m\,\!$ 個獨立廣義座標 $(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)\,\!$ 來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：

$x_i=x_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N\,\!$ 。

換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其相依的廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。

[编辑] 微分形式表示

約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第 $i\,\!$ 個約束的微分形式的約束方程式：

$\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0\,\!$ ；

這裏， $c_{ij}\,\!$ ， $c_{i}\,\!$ 分別為微分 $dq_j\,\!$ 與 $dt\,\!$ 的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數 $f_i(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ t)=0\,\!$ 的全微分滿足下述等式：

$df_i=\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0\,\!$ ；

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。相依於廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，如果我們知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

[编辑] 半完整系統

表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：

$f_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N)=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!$ ；

則稱此系統為半完整系統^[1]；這裏， $\dot{q}_j\,\!$ 是廣義速度。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子 $\lambda_i\,\!$

$\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i=0\,\!$ ；

這裏， $\lambda_i=\lambda_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N,\ \dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dots,\ \dot{q}_N,\ t)\,\!$ 是未知函數。

假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立：

$\delta\int_{t_1}^{t_2}\ L\ dt=0\,\!$ ；

這裏， $L\,\!$ 是拉格朗日量， $t_1\,\!$ 與 $t_2\,\!$ 分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式

$\int_{t_1}^{t_2}\ \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)\right)\delta q_j \ dt=0\,\!$ 。

由於這 $N\,\!$ 個廣義座標中，仍舊有 $n\,\!$ 個相依的廣義座標，我們不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：

$\delta\int_{t_1}^{t_2}\ \left(L+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i f_i\right)\ dt=0\,\!$ 。

經過變分法運算，可以得到方程式

$\int_{t_1}^{t_2}\ \sum_j\ \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) + \mathcal{F}_j\right)\delta q_j \ dt=0\,\!$ ;

這裏， $\mathcal{F}_j\,\!$ 是廣義力的 $j\,\!$ 分量：

$\mathcal{F}_j=\sum_i\ \left[\frac{\partial (\lambda_i f_i)}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (\lambda_i f_i)}{\partial \dot{q}_j}\right)\right]\,\!$ 。