虛位移

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粒子的運動軌道與虛軌道分別為 x(t)x'(t) 。在位置 x_1 、時間 t_1 ,虛位移為 \delta x 。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為 x_0x_2

分析力學裏,保持時間不變,虛位移是符合約束條件的無窮小位移。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移, 所以稱保持時間不變的位移為虛位移[1]

如右圖,假設一個粒子的運動軌道是 x(t) ,另外一條不違反約束條件的路徑是 x'(t) ,則在時間 t_1 ,虛位移是 \delta x=x'(t_1)-x(t_1)

假設一個位置向量 \mathbf{r}_i廣義坐標 q_1, q_2,\dots, q_N 與時間 t 的函數,\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1, q_2,\dots, q_N, t) ,則此位置向量的無窮小位移為

d \mathbf{r}_i = \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial t} d t + \sum_{j=1}^N \frac{\partial\mathbf {r}_i} {\partial q_j} d q_j

虛位移 \delta \mathbf{r}_i

\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^N \frac {\partial\mathbf{r}_i} {\partial q_j} \delta q_j

物理系統的運動必須符合設定的約束條件,虛位移也必須符合約束條件。例如,假設一個彈珠被約束地只能移動於一個直立的圓圈。它的位置可以用角坐標 \theta 表示所在地點的角度。如果彈珠是在圓圈的頂端,將彈珠從高度 z 往上移至高度 z + dz 是一個會違反約束,唯有可能的虛位移是將彈珠從位置 \theta 移至 \theta + \delta\theta ;這裏, \delta\theta 可以是正數或負數。

特別注意, 虛位移只是空間位移;時間是固定的。雖然某一數值是空間與時間的參數, 當計算此數值的虛全微分時, 完全不考慮時間的相關性, 也就是說 \delta t = 0

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984: pp. 263–265. ISBN 0-03-063366-4.