位移

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。
位移向量与路径距离的关系。位移向量的大小也是距离的最小值

物理學裏,位移位置的改變。假設從舊位置 \mathbf{r_1}\,\! 改變到新位置 \mathbf{r_2}\,\! ,則位移是 \Delta\mathbf{r}=\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}\,\! 。使用向量分析的術語,假設一個粒子的位置,從舊位置移動到新位置,則位移是端點為舊位置,矢點為新位置的向量,稱為位移向量。假若這舊位置是原點,則位移向量又稱為位置向量

位移向量可以簡易地表示出粒子的運動軌跡。給予運動的舊位置,位移向量可以表示出,相對於這舊位置,運動的方向和距離。位移向量的微小元素也可以用來表示一系列的微小位移。

物體的位移是距有方向性的向量,而位移需要物體的舊位置及新位置,由舊位置出發指向新位置,而形成一條具有方向性的向量

刚体[编辑]

若用在刚体运动时,位移这词语也可以包括刚体的旋转在内。對於這案例,剛體內部一個點(例如,質心幾何中心等等)的位移,稱為線位移,而剛體的旋轉則稱為角位移

速度和距離[编辑]

位移向量是粒子的新位置與舊位置的向量差。這向量差,除以所經過的時間,就是粒子的平均速度。粒子的瞬時速度則是位移向量隨著時間的導數。

距離是一種純量,通常定義為位移向量的大小(最小距離),或定義一條彎曲路徑的長度(移動距離)。它不能給出運動方向。

假設,從時間 t=0\,\! 開始,一個粒子的運動軌道為

\mathbf{r}(t):\R \to \mathrm{V}^n\,\!

其中,t\,\!時間\R\,\!實數\mathrm{V}^n\,\! 是 n-維向量空間

那麼,粒子移動的瞬時速度 \mathbf{v}(t)\,\!

\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\,\!

粒子移動的平均速度 \bar{\mathbf{v}}(t)\,\!

\bar{\mathbf{v}}(t)=\frac{\mathbf{r}(t) - \mathbf{r}(0)}{t}\,\!

粒子移動的距離 s\,\! 是時間 t\,\! 的函數:

s(t)=\int_0^t \left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|dt=\int_0^t v(t)dt\,\!

其中, v(t)=|\mathbf{v}(t)|\,\!速率


速度和速率有什麼不同呢?先看其兩者英文的不同,速度(velocity)、速率(speed),他們在英文上的字根似乎就不太一樣,那兩著實質上的意義似乎就不太一樣。以往課本所告訴我們的,兩者之差在於一個有方向而一個不具有方向性。但就日常生活中,和我們所熟悉的定義是不同的,若是就課本定義來講,我們從臺北到高雄是以速度來計算,就是以臺北到高雄的直線距離除上所花上的時間;但事實上並非如此,通常我們是以我們所走的路徑長除上所花上的時間下去計算,那這樣我們所學的東西和應用到日常生活中的概念不就有一點點的出入嗎?舉另一個例子,以時間的秒針來講從6到12及從9到12的速度似乎又不太一樣,同一個時鐘秒針當然不會忽快忽慢,但速度的大小不就是在解釋物體行進的快跟慢嗎?然而,速度跟速率是真的不一樣只差了方向性嗎?其實不然,若以時鐘來說,以微積分的“極限”概念來看,若一個圓所切出來的等分越多,其圖形會越接近於一個完整的圓(如下圖)。也就是說當兩點越來越近時,其位移會越來越趨近於路徑長。這個例子就提醒了我們,速度及速率似乎不會是不一樣的東西,其實還是有一點關聯的。而這點,是課本老師不會告訴我們的,以往只能從題目和定義中得知它們兩者的結果會不同,卻不知道在極限的概念中他們其實是可以是很接近的。

參阅[编辑]