本页使用了标题或全文手工转换

拉格朗日定理 (群論)

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

拉格朗日定理群論的定理,利用陪集證明了子群的階一定是有限的階的因數值。

定理[编辑]

叙述:设H是有限G的子群,则H的整除G的阶。

定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解,由于每个等价类的元素个数都相等,都等于H的元素个数(H是H关于e的左陪集),因此H的阶(元素个数)整除G的阶,商是H在G中的左陪集个数,叫做H对G的指数,记作[G:H]。

陪集的等价关系[编辑]

定义二元关系\sima \sim b \Longleftrightarrow  a^{-1}b \in H。下面证明它是一个等价关系

  1. 自反性:\forall x \in G,~~x^{-1}x = e \in H ~~ \implies ~~ x \sim x
  2. 对称性:\forall x, y \in G,~~ x \sim y  \implies  x^{-1}y \in H ,因此 y^{-1}x = (x^{-1}y )^{-1} \in H ,因此 y \sim x \cdot
  3. 传递性:\forall x, y, z \in A, ~~~( x \sim y ~~ \wedge ~~ y \sim z) ~~\implies~~ x^{-1}y \in H \wedge  y^{-1}z \in H ,因此 x^{-1}z = x^{-1}y \cdot y^{-1}z \in H ,因此x \sim z \cdot

可以证明,(a^{-1}b \in H) \Longleftrightarrow(aH \cap bH \ne \varnothing) \Longleftrightarrow(aH = bH)。因此左陪集是由等价关系\sim确定的等价类。

拉格朗日定理说明,如果商群|G| / |H|存在,那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。

|G| = [G:H] · |H|,

上述写法在G为无限群时也成立。

推论[编辑]

由拉格朗日定理可立即得到:由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶(考虑由a生成的循环群)。

逆命题[编辑]

拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群G和一个整除G的阶的整数dG并不一定有阶数为 d的子群。最简单的例子是4次交替群A4,它的阶是12,但对于12的因数6,A4没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性,柯西定理西洛定理给出了一个部分的回答。

参见[编辑]