群環

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抽象代數中,群環是從一個 G交換環 R 構造出的環,通常記為 R[G]RG。其定義為:

R[G] := \bigoplus_{g \in G} R e_g \qquad (換言之,這是由基底 \{ e_g : g \in G\} 張出的自由 R-模)

其上的 R-線性乘法運算由 e_g \cdot e_h = e_{gh} 給出。R[G]R-模的加法與上述乘法形成一個 R-代數。乘法單位元素為 1 := e_e

最常用的是 R = \ZR = \mathbb{C} 的群環。對於後者,\mathbb{C}[G] 成為 G表示s \sum a_g e_g = \sum a_g e_{sg};若 G有限群,則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 G,迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群,通常採用 C_c(G)L^1(G)摺積構成的代數,較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

文獻[编辑]

  • A. A. Bovdi, Group algebra// (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, 2001, ISBN 978-1556080104 
  • C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
  • D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)