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代數 (環論)

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數學中,交換環上的代數多元環是一種代數結構,上下文不致混淆時通常逕稱代數

定義[编辑]

A 為一交換環, A 上的代數(或稱 A-代數)是下述結構:

  • 集合 E 是個 A-
  • 指定 E 上的一個二元運算,通常以乘法符號表示:
    • (x,y) \mapsto xy
  • 此二元運算是雙線性的,換言之:
\forall x,y,z \in E, \; x(y+z) = xy + xz, (y+z)x = yx + zx
\forall a \in A, x,y, \in E, \; (ax)y = x(ay) = a(xy)

最常考慮的情形是 A 是一個,這時稱域代數,一些作者也將代數定義成域上的代數。

E 上的乘法滿足交換性 xy=yx,則稱之為 可交換代數;若 E 上的乘法滿足結合律 x(yz)=(xy)z,則稱之為結合代數,詳閱主條目結合代數交換代數學中考慮的代數均屬可交換的結合代數。

代數同態[编辑]

E, FA-代數,A-模間的同態 \phi: E \rightarrow F 被稱作 A-代數間的同態,若且唯若它滿足 \forall x,y \in E, \; \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)。因此所有 A-代數構成一個範疇,也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態

結構常數[编辑]

EA-代數。當 E 是個自由的有限秩 A-模(當 A 為域且\dim_A E < \infty 時自動成立)時,可選定一組基底 e_1, \ldots, e_n,並將乘法寫作

e_i e_j = \sum_k c_{ij}^k e_k \quad (採用愛因斯坦記號

此時常數 c_{ij}^k \in A 稱作 E 對基底 e_1, \ldots, e_n結構常數

例子[编辑]

  • 任何環都是結合 \mathbb{Z}-代數;更一般地說,若 A_0 \rightarrow A 為環同態,則 A 藉此可自然地視作結合 A_0-代數。
  • 矩陣環對矩陣乘法是結合代數,但乘法非交換。
  • 同樣取矩陣環,並假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 \{X,Y\} = (XY + YX)/2,此時得到交換、非結合的代數。這是約當代數的例子
  • 歐氏空間 \mathbb R^3 對其外積構成一個非交換、非結合的 \mathbb{R}-代數。這是李代數的例子。
  • 四元數 \mathbb H 是一個非交換的結合 \mathbb{R}-代數。
  • 八元數 \mathbb O 是一個非交換、非結合的 \mathbb{R}-代數。

除了交換結合代數外,一般常研究的幾類代數包括李代數Clifford代數約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構,並要求代數運算是連續的;最突出的例子是巴拿赫代數,這是現代泛函分析的基石之一。

參見[编辑]

文獻[编辑]