代數 (環論)

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。

定義

設 $A$ 為一交換環， $A$ 上的代數（或稱 $A$-代數）是下述結構：

• 集合 $E$ 是個 $A$-模。
• 指定 $E$ 上的一個二元運算，通常以乘法符號表示：
  • $(x,y) \mapsto xy$
• 此二元運算是雙線性的，換言之：

$\forall x,y,z \in E, \; x(y+z) = xy + xz, (y+z)x = yx + zx$

$\forall a \in A, x,y, \in E, \; (ax)y = x(ay) = a(xy)$

最常考慮的情形是 $A$ 是一個域，這時稱域代數，一些作者也將代數定義成域上的代數。

若 $E$ 上的乘法滿足交換性 $xy=yx$，則稱之為 可交換代數；若 $E$ 上的乘法滿足結合律 $x(yz)=(xy)z$，則稱之為結合代數，詳閱主條目結合代數。交換代數學中考慮的代數均屬可交換的結合代數。

代數同態

設 $E, F$ 是 $A$-代數，$A$-模間的同態 $\phi: E \rightarrow F$ 被稱作 $A$-代數間的同態，若且唯若它滿足 $\forall x,y \in E, \; \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$。因此所有 $A$-代數構成一個範疇，也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。

結構常數

設 $E$ 是 $A$-代數。當 $E$ 是個自由的有限秩 $A$-模（當 $A$ 為域且$\dim_A E < \infty$ 時自動成立）時，可選定一組基底 $e_1, \ldots, e_n$，並將乘法寫作

$e_i e_j = \sum_k c_{ij}^k e_k \quad$ （採用愛因斯坦記號）

此時常數 $c_{ij}^k \in A$ 稱作 $E$ 對基底 $e_1, \ldots, e_n$ 的結構常數。

例子

• 任何環都是結合 $\mathbb{Z}$-代數；更一般地說，若 $A_0 \rightarrow A$ 為環同態，則 $A$ 藉此可自然地視作結合 $A_0$-代數。
• 矩陣環對矩陣乘法是結合代數，但乘法非交換。
• 同樣取矩陣環，並假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 $\{X,Y\} = (XY + YX)/2$，此時得到交換、非結合的代數。這是約當代數的例子
• 歐氏空間 $\mathbb R^3$ 對其外積構成一個非交換、非結合的 $\mathbb{R}$-代數。這是李代數的例子。
• 四元數 $\mathbb H$ 是一個非交換的結合 $\mathbb{R}$-代數。
• 八元數 $\mathbb O$ 是一個非交換、非結合的 $\mathbb{R}$-代數。

除了交換結合代數外，一般常研究的幾類代數包括李代數、Clifford代數、約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構，並要求代數運算是連續的；最突出的例子是巴拿赫代數，這是現代泛函分析的基石之一。

參見

• 結合代數
• 代數同態
• 李代數

文獻

• Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6