原根

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数论,特别是整除理论中,原根是一个很重要的概念。

對於两个正整数gcd(a,m)=1,由欧拉定理可知,存在正整数d \le m-1, 比如说欧拉函数d= \phi (m),即小于等于 m 的正整数中与 m 互質的正整数的个数,使得a^d \equiv 1 \pmod{m}

由此,在gcd(a,m)=1時,定義a对模m的指数Ord_m(a)為使a^d \equiv 1 \pmod{m}成立的最小的正整数d。由前知Ord_m(a) 一定小于等于  \phi (m),若Ord_m (a) = \phi (m),則稱a是模m的原根

例子[编辑]

m=7,则 \varphi (m)等于6。

  • a=2,由于2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7} ,而\displaystyle 3 < 6 ,所以 2 不是模 7 的一个原根。
  • a=3,由于3^1  \equiv 3 \pmod{7} 3^2  \equiv 2 \pmod{7} 3^3  \equiv 6 \pmod{7} 3^4  \equiv 4 \pmod{7} 3^5  \equiv 5 \pmod{7} 3^6  \equiv 1 \pmod{7} ,因此有Ord_7(3) = 6 =\varphi (7),所以 3 是模 7 的一个原根。

性质[编辑]

  • 可以证明,如果正整数(a,m)=1和正整数 d 满足a^d \equiv 1 \pmod{m} ,则 Ord_m (a) 整除 d。[1]因此Ord_m (a)整除 \phi (m) 。在例子中,当a=3时,我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。
  • m有原根的充要條件是m = 2 , 4 , p^n , 2p^n,其中p是奇質數,n是任意正整數
  • 对正整数(a,m)=1,如果 a 是模 m 的原根,那么 a 是整数模n乘法群(即加法群 Z/mZ 的可逆元,也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)Zn×的一个生成元。由于Zn× \phi (m)个元素,而它的生成元的个数就是它的可逆元个数,即  \phi (\phi (m))个,因此当模m有原根時,它有\phi (\phi (m))個原根。

一些數的原根列表[编辑]

m 2 3 4 5 6 7
模m的原根 1 2 3 2、3 5 3、5

除了直接運算以外,至今還沒有一個辦法可以找到模特定m時的原根,但假如已知模m有一個原根,則可找出它其他的原根

参考资料及注释[编辑]

參見[编辑]