欧拉函数

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n为1至1000的整数时\varphi(n)的值

數論中,對正整數n歐拉函數\varphi(n)是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名,它又稱為φ函數歐拉商數[來源請求]等。

例如\varphi(8)=4,因為1,3,5,7均和8互質。

欧拉函数实际上是模n同余类所构成的乘法(即环\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}的所有单位元组成的乘法群)的。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。

欧拉函數的值[编辑]

\varphi(1)=1(小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身)。

n質數pk\varphi(n)=\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1},因為除了p倍數外,其他數都跟n互質。

歐拉函數是積性函數,即是说若m,n互質,\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)。證明:設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集,據中國剩餘定理A \times BC可建立雙射(一一對應)的關係。因此\varphi(n)的值使用算術基本定理便知,

n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}
\varphi(n) = \prod_{i=1}^r p_i^{k_i-1}(p_i-1) = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)

其中\alpha_p是使得p^{\alpha}整除n的最大整数\alpha(这里\alpha_{p_i} = k_i)。

例如\varphi(72)=\varphi(2^3\times3^2)=2^{3-1}(2-1)\times3^{2-1}(3-1)=2^2\times1\times3\times2=24

性质[编辑]

n的欧拉函数\varphi(n) 也是循环群 Cn生成元的个数(也是n分圆多项式的次数)。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群,即必然是某个子群的生成元。而且按照定义,不同的子群不可能有相同的生成元。此外, Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式,其中d整除n(记作d | n)。因此只要考察n的所有因数d,将 Cd 的生成元个数相加,就将得到 Cn 的元素总个数:n。也就是说:

\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n

其中的dn的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和,就可以得到另一个关于\varphi(n)的公式:

\varphi(n)=\sum_{d\mid n} d \cdot \mu(n/d)

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数,定义在正整数上。

對任何兩個互質的正整數a, m(即 gcd(a,m) = 1),m\ge2,有

a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m

欧拉定理

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出,因为任意与m互质的a都属于环 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 的单位元组成的乘法群\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{\times}

m質數p時,此式則為:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

費馬小定理

生成函数[编辑]

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质:\sum_{d|n} \varphi(d) = n

\varphi(n)生成的狄利克雷级数是:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}.

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下:

\zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s} = \left(\sum_{g=1}^\infty \frac{1}{g^s}\right)\left(\sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s}\right)
.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} 1 \cdot \varphi(g)\right) \frac{1}{h^s}
.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} \varphi(g)\right) \frac{1}{h^s} = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d)\right) \frac{1}{h^s}
使用开始时的等式,就得到:\sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d)\right) \frac{1}{h^s} = \sum_{h=1}^\infty \frac{h}{h^s}
于是\sum_{h=1}^\infty \frac{h}{h^s} = \zeta(s-1)

欧拉函数生成的朗贝级数如下:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n}= \frac{q}{(1-q)^2}

其对于满足 |q|<1 的q收敛

推导如下:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n} =
\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(n) \sum_{r\ge 1} q^{rn}

后者等价于:


\sum_{k\ge 1} q^k \sum_{n|k} \varphi(n) =
\sum_{k\ge 1} k q^k = \frac{q}{(1-q)^2}.

欧拉函数的走势[编辑]

随着n变大,估计\varphi(n) 的值是一件很难的事。当n为质数时,\varphi(n)=n-1,但有时\varphi(n)又与n差得很远。

n足够大时,有估计:

对每个 ε > 0,都有n > N(ε)使得 \,n^{1-\varepsilon}<\varphi(n)<n

如果考虑比值:

\,\varphi(n)/n,

由以上已经提到的公式,可以得到其值等于类似1-p^{-1}的项的乘积。因此,使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道,常数 ε 可以被替换为:

C\,\log \log n/ \log n.

\varphi就平均值的意义上来说是与n很相近的,因为:

\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \varphi(k)= \frac{3}{\pi^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right)

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数,则当n趋于无穷大时,它们互质的概率趋于 6/\pi^2 。一个相关的结果是比值\varphi(n)/n的平均值:

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\varphi(k)}{k} = 
\frac{6}{\pi^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right).

其他与欧拉函数有关的等式[编辑]

  1. \;\varphi\left(n^m\right) = n^{m-1}\varphi(n)
  2.   \forall a \in N , \forall n \in N , \ \exists l \in N 使得 [(a >1 \and n > 1)\rightarrow (l|\varphi(a^n-1) \and l \geq n) ]
  3.     \forall a \in N , \forall n \in N , \ \exists l \in N 使得 [(a >1 \and n > 6 \and 4 \not| n )\rightarrow (l|\varphi(a^n-1) \and l \geq 2n) ]
  4. \sum_{d \mid n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)} = \frac{n}{\varphi(n)}
  5. \sum_{1\le k\le n \atop (k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n\varphi(n)\text{ for }n>1
  6. \sum_{k=1}^n\varphi(k) = \frac{1}{2}\left(1+ \sum_{k=1}^n \mu(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^2\right)
  7. \sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}{k}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor
  8. \sum_{k=1}^n\frac{k}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(n)
  9. \sum_{k=1}^n\frac{1}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(\log(n))

与欧拉函数有关的不等式[编辑]

  1. 
\varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}}
,其中n > 2,γ 为欧拉-马歇罗尼常数
  2. 
\varphi(n) \ge \sqrt{\frac {n} {2} }
,其中n > 0。
  3. 对整数n > 6,
\varphi(n) \ge \sqrt{n}
  4. n为质数时,显然有\varphi(n) = n-1。对于合数n,则有:

\varphi(n) \le n-\sqrt{n}

参考来源[编辑]

  • Milton Abramowitz、Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.
  • Eric Bach、Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节,234页.
  • 柯召,孙琦:数论讲义(上册),第二版,高等教育出版社,2001