欧拉函数

当n为1至1000的整数时$\varphi(n)$的值

在數論中，對正整數n，歐拉函數$\varphi(n)$是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數、歐拉商數等。

例如$\varphi(8)=4$，因為1,3,5,7均和8互質。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。

欧拉函數的值

$\varphi(1)=1$（小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身）。

若n是質數p的k次冪，$\varphi(n)=\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

歐拉函數是積性函數，即是说若m,n互質，$\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$。證明：設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，$A \times B$和$C$可建立雙射(一一對應)的關係。因此$\varphi(n)$的值使用算術基本定理便知，

若$n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}$

則$\varphi(n) = \prod_{i=1}^r p_i^{k_i-1}(p_i-1) = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$。

其中$\alpha_p$是使得$p^{\alpha}$整除$n$的最大整数$\alpha$（这里$\alpha_{p_i} = k_i$）。

例如$\varphi(72)=\varphi(2^3\times3^2)=2^{3-1}(2-1)\times3^{2-1}(3-1)=2^2\times1\times3\times2=24$

性质

n的欧拉函数$\varphi(n)$ 也是循环群 C_n 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。C_n 中每个元素都能生成 C_n 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， C_n 的所有子群都具有 C_d 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 C_d 的生成元个数相加，就将得到 C_n 的元素总个数：n。也就是说：

$\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n$

其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于$\varphi(n)$的公式：

$\varphi(n)=\sum_{d\mid n} d \cdot \mu(n/d)$

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

對任何兩個互質的正整數a, m（即 gcd(a,m) = 1），$m\ge2$，有

$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m$

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的单位元组成的乘法群$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{\times}$

當m是質數p時，此式則為：

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$

即費馬小定理。

生成函数

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：$\sum_{d|n} \varphi(d) = n$。

由$\varphi$(n)生成的狄利克雷级数是：

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}.$

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下：

$\zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s} = \left(\sum_{g=1}^\infty \frac{1}{g^s}\right)\left(\sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s}\right)$

$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} 1 \cdot \varphi(g)\right) \frac{1}{h^s}$

$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} \varphi(g)\right) \frac{1}{h^s} = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d)\right) \frac{1}{h^s}$

使用开始时的等式，就得到：$\sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d)\right) \frac{1}{h^s} = \sum_{h=1}^\infty \frac{h}{h^s}$

于是$\sum_{h=1}^\infty \frac{h}{h^s} = \zeta(s-1)$

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n}= \frac{q}{(1-q)^2}$

其对于满足 |q|<1 的q收敛。

推导如下：

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(n) \sum_{r\ge 1} q^{rn}$

后者等价于：

$\sum_{k\ge 1} q^k \sum_{n|k} \varphi(n) = \sum_{k\ge 1} k q^k = \frac{q}{(1-q)^2}.$

欧拉函数的走势

随着n变大，估计$\varphi(n)$ 的值是一件很难的事。当n为质数时，$\varphi(n)=n-1$，但有时$\varphi(n)$又与n差得很远。

在n足够大时，有估计：

对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 $\,n^{1-\varepsilon}<\varphi(n)<n$

如果考虑比值：

$\,\varphi(n)/n,$

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似$1-p^{-1}$的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：

$C\,\log \log n/ \log n.$

$\varphi$就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

$\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \varphi(k)= \frac{3}{\pi^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right)$

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 $6/\pi^2$ 。一个相关的结果是比值$\varphi(n)/n$的平均值：

$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\varphi(k)}{k} = \frac{6}{\pi^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right).$

其他与欧拉函数有关的等式

1. $\;\varphi\left(n^m\right) = n^{m-1}\varphi(n)$
2. $\forall a \in N , \forall n \in N , \ \exists l \in N$ 使得 $[(a >1 \and n > 1)\rightarrow (l|\varphi(a^n-1) \and l \geq n) ]$
3. $\forall a \in N , \forall n \in N , \ \exists l \in N$ 使得 $[(a >1 \and n > 6 \and 4 \not| n )\rightarrow (l|\varphi(a^n-1) \and l \geq 2n) ]$
4. $\sum_{d \mid n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)} = \frac{n}{\varphi(n)}$
5. $\sum_{1\le k\le n \atop (k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n\varphi(n)\text{ for }n>1$
6. $\sum_{k=1}^n\varphi(k) = \frac{1}{2}\left(1+ \sum_{k=1}^n \mu(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^2\right)$
7. $\sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}{k}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$
8. $\sum_{k=1}^n\frac{k}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(n)$
9. $\sum_{k=1}^n\frac{1}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(\log(n))$

与欧拉函数有关的不等式

1. $\varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}}$，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。
2. $\varphi(n) \ge \sqrt{\frac {n} {2} }$ ，其中n > 0。
3. 对整数n > 6，$\varphi(n) \ge \sqrt{n}$。
4. 当n为质数时，显然有$\varphi(n) = n-1$。对于合数的n，则有：

$\varphi(n) \le n-\sqrt{n}$

参考来源

• Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.

• Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节，234页.

• Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311.

• 柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001