维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

汉语拼音注音:ㄇㄧˋ,音同“覓”),指乘方运算的结果。n^m指將n自乘m次。把n^m看作乘方的结果,叫做「n的m次幂」或「n的m次方」。

n^m = \underbrace{n \times \cdots \times n}_m

其中,n稱為「底數」,m稱為「指數」(寫成上標)。當不能用上標時,例如在編程語言電子郵件中,n^m通常寫成n^mn**m,亦可以用高德納箭號表示法,寫成n↑m,讀作“n的m次方”。

當指數為1時,通常不寫出來,因為運算出的值和底數的數值一樣;指數為2時,可以讀作“n的平方”;指數為3時,可以讀作“n的立方”。

nm的意義亦可視為

n^m = 1\times \underbrace{n \times \cdots \times n}_m

起始值1(乘法的單位元)乘上底數(n)自乘指數(m)這麼多次。這樣定義了後,很易想到如何一般化指數0和負數的情況:除0外所有數的零次方都是1;指數是負數時就等於重複除以底數(或底數的倒數自乘指數這麼多次),即:

 n^{0} = 1 \qquad
n^{-m} = 1/(\underbrace{n\times\cdots\times n}_m) = \frac{1}{n^m} = (\frac{1}{n})^{m} \qquad (n \ne 0)

分數為指數的冪定義為x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}},即xm次方开n方根

0的0次方目前數學家沒有給予正式的定義,部分領域中,如組合數學,常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。

冪不符合結合律交換律

因為十的次方很易計算,只需在後加零即可,所以科学记数法借助此簡化記錄數的方式;二的幂計算機科學中很有用。

重要的恆等式[编辑]

运算法则[编辑]

  • 同底数幂相乘,底数不变,指数相加:
a^m \times a^n = a^{m + n}
  • 同底数幂相除,底数不变,指数相减:
\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}
  • 幂的乘方,底数不变,指数相乘:
(a^m)^n = a^{m\cdot n}
  • 同指数幂相乘,指数不变,底数相乘:
a^n \times b^n = (a \times b)^n
  • 同指数幂相除,指数不变,底数相除:
\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n

其他等式[编辑]

  • a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}
  • x^{-m} = \frac{1}{x^m} \qquad (x \ne 0)
  • x^0 = 1 \qquad
  • x^1 = x\,\!
  • x^{-1} = \frac{1}{x} \qquad (x \ne 0)
  • ( x^m )^n = x^{mn}
  • x^i = e^{i \ln x} = \cos(\ln x) + i \sin (\ln x), \quad i^2 = -1

运算律[编辑]

加法和乘法遵守交换律,比如:2+3 = 5 = 3+2,2×3 = 6 = 3×2,但是幂的运算不遵守交换律,2^3 = 8 ,但是3^2 = 9

同样,加法和乘法遵守结合律,比如:(2+3)+4 = 9 = 2+(3+4),(2×3)×4 = 24 = 2×(3×4),幂同样不遵守:(2^3)^4 = 8^4 = 4096 ,但是2^{(3^4)} = 2^{81} = 2,417,851,639,229,258,349,412,352

幂的运算顺序通常由上到下:

a^{b^c} = a^{(b^c)}\ne (a^b)^c = a^{(b\times c)} = a^{b\times c}.

整数指数幂[编辑]

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂[编辑]

表达式a^2 = a\cdot a被称作a平方,因为边长为a的正方形面积是a^2

表达式a^3 = a\cdot a\cdot a被称作a立方,因为邊长为a的正方体体积是a^3

所以3^2读作3的平方2^3读作2的立方

指数表示的是有多少个底数相乘。比如3^5 = 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = 243,指数是5,底数是3,表示有5个3相乘。

或者,整数指数幂可以递归地定义成:

a^n=
\begin{cases}
1 & (n= 0) \\
a \cdot a^{n-1} & (n> 0) \\
\frac 1 a^{-n} & (n< 0)
\end{cases}

指数是1或者0[编辑]

注意3^1表示仅仅1个3的乘积,就等于3。

注意3^5 = 3\times 3^43^4 = 3\times 3^33^3 = 3\times 3^23^2=3\times 3^1

继续,得到3^1 = 3\times 3^0 = 3,所以3^0 = 1

另一个得到此结论的方法是:通过运算法则 \frac{x^n}{x^m} = x^{n - m}

m=n时, 1 = \frac{x^n}{x^n} = x^{n - n} = x^0

  • 任何数的1次方是它本身。

负数指数[编辑]

我们定义任何不为0的数的-1次方等于它的倒数。

a^{-1} = \frac{1}{a}.

对于非零a定义a^{-n} = \frac{1}{a^n}。因为当a=0时分母是0而没有意义。

这个定义是因为a^m\cdot a^n = a^{m+n},当m=-n

a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\,+\,n} = a^0 = 1,

因为a^0已经定义了,所以a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

或者还可以像定义a0次方一样定义:

通过运算法则 \frac{x^m}{x^n} = x^{m - n}

m=0时,可以约去分子得x^{-n} = x^{0-n} = \frac{x^0}{x^n}

负数指数a^{-n}还可以表示成1连续除以na。比如:

3^{-4} = (((1/3)/3)/3)/3 = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}.

特殊数的幂[编辑]

10的幂[编辑]

十进制的计数系统中,10的幂写成1后面跟着很多个0。例如:10^3 = 1000,\ 10^{-3} = 0.001

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如:299,792,458 (真空中光速,单位是米每秒),可以被写成2.99792458\times 10^8近似值2.998\times 10^8.

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字,比如:词头“千”就是10^3,词头“毫”就是10^{-3}

1的幂[编辑]

1的任何次幂都为1

0的幂[编辑]

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1;而0的0次方是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[1]但某些教科書表示0的0次方為無意義。[2]

负1的幂[编辑]

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂[编辑]

一个大于1的数的幂趋于无穷大,一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

a > 1 n \to \infty a^n \to \infty
a < -1 n \to \infty a^n \to -\infty

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

|a| < 1 n \to \infty a^n \to 0

1的幂永远都是1

a = 1 n \to \infty a^n \to 1

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷,那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是:

 n \to \infty,  (1+\frac{1}{n})^n \to e

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂[编辑]

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

  • 有理数幂可以通过N次方根定义,任何非0实数次幂都可以这样定义
  • 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根[编辑]

从上到下:x^{\frac{1}{8}},\ x^{\frac{1}{4}},\ x^{\frac{1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}

一个an次方根是xx使x^n=a

如果a是一个正实数,n是正整数,那么方程x^n=a只有一个正实数。 这个根被称为an次方根,记作:\sqrt[n]{a},其中\sqrt{\ }叫做根号。或者,an次方根也可以写成a^{\frac{1}{n}}. 例如4^{\frac{1}{2}} = 2,\ 8^{\frac{1}{3}} = 2

当指数是\frac{1}{2}时根号上的2可以省略,如:\sqrt{4} = \sqrt[2]{4} = 2

有理数幂[编辑]

有理数指数通常可以理解成

a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

e的幂[编辑]

这个重要的数学常数e,有时被叫做欧拉数,近似2.718,是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的:

e =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} )^n

指数函数的定义是:

e^x =\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n} )^n

可以很简单地证明e的正整数k次方e^k是:

e^k = (\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} ) ^n)^k
= \lim_{n \to \infty} ((1+\frac{1}{n} ) ^n)^k
= \lim_{n \to \infty} (1+\frac k {n\cdot k} )^{n \cdot k}
= \lim_{n \cdot k \to \infty} (1+\frac k {n\cdot k} )^{n \cdot k}
= \lim_{m \to \infty} (1+\frac k m )^m

实数指数幂[编辑]

y = bx對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数,任意实数指数x可以定义成[3]

 b^x = \lim_{r \to x} b^r,

例如:

x \approx 1.732

于是

5^x \approx 5^{1.732} =5^{433/250}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241

实数指数幂通常使用对数来定义,而不是近似有理数。

自然对数\ln{x} 是指数函数e^x反函数。 它的定义是:对于任意b>0,满足

b = e^{\ln b}

根据对数和指数运算的规则:

b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}

这就是实数指数幂的定义:

b^x = e^{x\cdot\ln b}\,

实数指数幂b^x的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数,这种定义更加常用。

负实数的实数幂[编辑]

如果a是负数且n偶数,那么x^n = a无实数解。 如果a是负数且n奇数,那么x^n = a有一个负数解。

使用对数和有理数指数都不能将a^k(其中a是负实数,k实数)定义成实数。在一些特殊情况下,给出一个定义是可行的:负指数的整数指数幂是实数,有理数指数幂对于a^\frac{m}{n}n是奇数)可以使用n次方根来计算,但是因为没有实数x使x^2 = -1,对于a^\frac{m}{n}n是偶数)时必须使用虚数单位i

使用对数的方法不能定义a ≤ 0时的a^k为实数。实际上,e^x对于任何实数x都是正的,所以\ln(a)对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数a因为它依赖于连续性。函数f(r) = a^r对于任何正的有理数a是连续的,但是对于负数a,函数f在有些有理数r上甚至不是连续的。

例如:当a = -1,它的奇数次根等于-1。所以如果n是正奇数整数,-1^{\frac m n}=-1m是奇数,-1^{\frac m n}=1m是偶数。虽然有理数q使-1^q=1集合稠密集,但是有理数q使-1^q=-1集合也是。所以函数-1^q在有理数域不是连续的。

正实数的复数幂[编辑]

e的虚数次幂[编辑]

指数函数ez可以通过(1 + z/N)NN趋于无穷大时的极限来定义,那么e就是(1 + /N)N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + /N)N的值通过N重复增加在复数平面上展示,最终结果就是(1 + /N)N的准确值。可以看出,随着N的增大,(1 + /N)N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解e^{ix}(x是实数)。想象一个直角三角形(0, 1, 1 + ix/n)(括号内是复数平面内三角形的三个顶点),对于足够大的n,这个三角形可以看作一个扇形,这个扇形的中心角就等于x/n弧度。对于所有k,三角形(0, (1 + ix/n)k, (1 + ix/n)k+1)互为相似三角形。所以当n足够大时(1 + ix/n)n的极限是复数平面上的单位圆x弧度的点。这个点的极坐标(r, θ) = (1, x),直角坐标是(cos x, sin x)。所以e^{ix} = \cos x + i \sin x。这就是欧拉公式,它通过复数的意义将代数学三角学联系起来了。

等式e^z = 1的解是一个整数乘以2[4]

\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.

更一般地,如果e^b = a,那么e^z = a的每一个解都可以通过将2的整数倍加上b得到:

\{ z : e^z = a \} = \{ b + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.

这个复指数函数是一个有周期2周期函数

更简单的:e^{i\pi} = -1;\ e^{x + iy}= e^x(\cos y + i \sin y )

三角函数[编辑]

根据欧拉公式三角函数余弦和正弦是:

\cos z = \frac{ e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}} {2} \qquad \sin z = \frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}

历史上,在复数发明之前,余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,

使用了复数指数幂之后,很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂[编辑]

e^{x+iy}可以分解成e^x\cdot e^{iy}。其中e^xe^{x+iy}e^{iy}决定了e^{x+iy}的方向

正实数的复数幂[编辑]

如果a是一个正实数,z是任何复数,a^z定义成e^{z\cdot \ln(a)},其中x = ln(a)是方程e^x = a的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如:

2^i = e^{i\cdot \ln(2)} = \cos{\ln 2}+i\cdot \sin{\ln 2 } = 0.7692+0.63896i
e^i = 0.54030+0.84147i
10^i = -0.66820+0.74398i
(e^{2\pi})^i = 535.49^i = 1

函數[编辑]

當函數名後有上標的數(即函數的指數),一般指要重複它的運算。例如f^3 (x )f \left\{ f \left[ f ( x ) \right] \right\}。特別地,f^{-1} (x )f (x )反函數

三角函数的情況有所不同,一個正指數應用於函數的名字時,指答案要進行乘方運算,而指數為-1時则表示其反函數。例如:(\sin x)^{-1}表示\csc x。因此在三角函數時,使用\sin^{-1} x來表示\sin x的反函數\arcsin x

抽象代數[编辑]

计算自然数(正整数)nan的算法[编辑]

最快的方式计算a^n,当n是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的,和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

偽代碼

   1. 1 → y, n → k, a → f
   2.若k不為0,執行3至6
     3.若k為奇數, y * f → y
     4. k [[位操作#移位|右移]]1位(即k / 2 → k ,小數點無條件捨去)
     5. f * f → f
     6.回到2
   7.傳回y

C/C++语言中,你可以写如下算法:

   double power (double a, unsigned int n)
   {
        double y = 1;
        double f = a;
        unsigned int k = n;
        while (k != 0) {
           if (k % 2 == 1) y *= f;
           k >>= 1;
           f *= f;
        }
        return y;
   }

此算法的多項式時間\Omicron(\log n)\!,比普通算法快(a自乘100次,多項式時間\Omicron(n)\!),在n較大的時候更為顯著。

例如計算a^{100},普通算法需要算100次,上述算法則只需要算7次。若要計算a^{n} (n < 0)可先以上述算法計算a^{|n|},再作倒數。

註釋[编辑]

  1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
  2. ^ 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(註:0的0次方為無意義)
  3. ^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  4. ^ This definition of a principal root of unity can be found in:
    • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7.  Online resource
    • Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6.  Defined on page 351, available on Google books.
    • "Principal root of unity", MathWorld.

另見[编辑]

外部鏈結[编辑]