对数

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各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是2,而藍色函数底数是1/2。在数轴上每个刻度是半个单位。所有底数的对数函数都通过点(1,0),因为任何数的0次幂都是1(0除外),而底数 β 的函数通过点(β , 1),因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近 y 轴但永不触及它,因为 x=0的奇异性。

在数学中,数 x(对于底数β)的对数是 βy 的指数y,使得 x=βy。底数 β 的值一定不能是1或0(在扩展到复数复对数情况下不能是1的方根),典型的是e、 10或2。数x(对于底数β)的对数通常写为

y=\log_\beta x\!

xβ进一步限制为正实数的时候,对数是1个唯一的实数。 例如,因为

3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3=81

我们可以得出

4=\log_3 81\!

用日常语言说,以3为底的81的对数是4。

对数函数[编辑]

函数\log_\alpha x依赖于αx二者,但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如\log_\alpha x的函数,在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所以对每个基\alpha=|R|\ne0,1的值(不得是负数、0或1)只有唯一的对数函数。从这个角度看,底数α的对数函数是指数函数y=\alpha^x反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称,互为逆函数

对数函数的性质有:

  1. 都过(1,0)点;
  2. 定义域为(0,+∞),值域R
  3. α>1,在(0,+∞)上是增函数;1>α>0时,在(0,+∞)上是减函数。

运算公式[编辑]

和差[编辑]


\begin{align}
\log_\alpha\ M\!N&=\log_\alpha\ \beta^m\!\beta^n\\
&=\log_\alpha\ \beta^{m+n}\\
&=(m+n)\log_\alpha\!\beta\\
&=m\log_\alpha\!\beta+n\log_\alpha\!\beta\\
&=\log_\alpha\ \beta^m+\log_\alpha\ \beta^n\\
&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N\\
\log_\alpha\!\frac{M}{N}&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!\frac{1}{N}\\
&=\log_\alpha\!M-\log_\alpha\!N
\end{align}

基变換(换底公式)[编辑]

\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}

  • 推导:
\log_\alpha\!x=t
x=\alpha^{t}
两边取对数,则有\log_\beta\!x=log_\beta\!\alpha^{t}
\log_\beta\!x=tlog_\beta\!\alpha
又∵ \log_\alpha\!x=t


\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}


指係[编辑]


\begin{align}
\log_{\alpha^n}\ {x^m}&=\frac{\ln\ x^m}{\ln\ \alpha^n}\\
&=\frac{m\ln\!x}{n\ln\!\alpha}\\
&=\frac{m}{n}\log_\alpha\!x
\end{align}

还原[编辑]


\begin{align}
\alpha^{\log_\alpha\!x}&=x\\ 
&=\log_\alpha\!\alpha^x
\end{align}

互換[编辑]

M^{\log_\alpha\!N}=N^{\log_\alpha\!M}

倒数[编辑]

\log_\phi\!\theta=\frac{\ln\!\theta}{\ln\!\phi}=\dfrac{1}{\dfrac{\ln\!\phi}{\ln\!\theta}}=\frac{1}{\log_\theta\!\phi}

链式[编辑]


\begin{align}
\log_\beta\!\alpha\log_\gamma\!\beta&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\beta}\ \frac{\ln\!\beta}{\ln\!\gamma}\\
&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\gamma}\\
&=\log_\gamma\!\alpha
\end{align}

有理和无理指数[编辑]

如果n有理数,{\beta}^n表示等于\betan个因子的乘积:

{\beta}^n=\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n

但是,如果\beta是不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个中的任何实数n(参见)。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数\beta,有一个对数函数和一个指数函数,它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法,幂运算为乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文工程航海测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

特殊底数[编辑]

最常用做底数的是e、10和2。 在数学分析中,以e为底对数很常见。另一方面,以10为底对数在十进制表示法中,手工计算很容易:[1]

\log_{10} 10 x = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\

所以log10x表示正整数x的位数:数字的十进制位数是严格大于log10x的最小的整数。例如 log10 1430 ≈ 3.15 ,下一个整数是4,即1430的位数。以2为底的对数常用于计算机科学,因为计算机中二进制很普及。

下表列出了这些底数的常用的对数符号以及他们所使用的领域。许多学科都写log(x)来代替logb(x),根据前后文可以确定,记号blog(x)也出现过。[2]“ISO表示法”(ISO 31-11)一列指定了ISO推荐的表示方法。[3]

底数 b logb(x)的名称 ISO表示法 其它的表示方法 适用领域
2 二進制對數 lb x[4] ld x 、 log x 、 lg x 计算机科学、信息论、数学
e 自然对数 ln x[nb 1] log x
(用于数学和许多程序设计语言[nb 2]
数学分析、物理学、化学
统计学经济学和其它工程领域
10 常用对数 lg x log x
(用于工程学、生物学、天文学)
多种工程学领域 (见分贝)、
对数、手持式计算器光谱学

底数变换[编辑]

尽管有很多有用的恒等式,对计算器最重要的是找到不是建造于计算器内的底数(通常是loge和log10)的其他底数的对数。要使用其他底数β找到底数α的对数:

\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}

此外,这个结果蕴涵了所有对数函数(任意底数)都是相互类似的。所以用计算器计算对134217728底数2的对数:

\log_2134217728=\frac{\ln134217728}{\ln2}=\frac{27\ln2}{\ln2}=27

对数的用途[编辑]

对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数,所以它们经常用在解积分中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式bn = x中,b可以从xn方根nx 的b底数的对数,xbn次的来确定。参见对数恒等式得到掌控对数函数的一些规则。

简便计算[编辑]

对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数,就会使特定运算更容易:

数的运算 幂的运算 对数恒等式
\,xy \,m+n \,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y
\frac{x}{y} \,m-n \log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y
\,x^y \,mn \,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x
\sqrt[y]{x} \frac{m}{n} \log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}

这些关系使在两个数上的这种运算更快,在加法计算器出现之前正确的使用对数是基本技能。

群论[编辑]

从纯数学的观点来看,恒等式: \log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!, 在两种意义上是基本的。首先,其他3个算术性质可以从它得出。进一步的,它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构

对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

复对数[编辑]

复对数计算公式

{}_{{\color{blue}{\rm{Log}}_{c+d{\rm{i}}} (a+b{\rm{i}}) =\frac{\ln\left(a^2+b^2)\cdot\ln(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right) \left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right) +\left[2\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)\ln\left(c^2+d^2\right)-2\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]{\rm{i}}}{\ln^2\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)^2}}}
{}_{{\color{red}\ (a+b{\rm{i}})^{\left(c+d{\rm{i}}\right)}=e^{\frac{c}{2}\ln\left(a^2+b^2\right)-\left(d+2n\pi\right)\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right] +{\rm{i}}\sin\left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]\right\}}}
\begin{cases}
  \arctan0={\pi},  & \mbox{for }a < 0\!\, \\
  \arctan0=0,  & \mbox{for }a > 0\!\, \\
\end{cases}
\mathbb{Z}=\{k,n\}

微积分[编辑]

自然对数函数的导数

\frac{\rm{d}} {{\rm{d}}x} \ln \left| x \right| = \frac{1}{x}

通过应用换底规则,其他底数的导数是

\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \log_b x = \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \frac {\ln x}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b}

自然对数\ln x\,不定积分

\int \ln x \,{\rm{d}}x = x \ln x - x + C,

而其他底数对数的不定积分

\int \log_b x \,{\rm{d}}x = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \frac{x}{e} + C

计算自然对数的级数[编辑]

有一些级数用来计算自然对数。[8]最简单和低效的是:

\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n|z-1|<1\!

下做推导:

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

在两边积分得到

-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots

z=1-x\!并因此x=-(z-1)\!,得到

\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots

更有效率的级数是基於反雙曲函數

\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}

对带有正实部的z

推导:代换-xx,得到

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

做减法,得到

\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots

z=\frac{1+x}{1-x} \!并因此x = \frac{z-1}{z+1} \!,得到

\ln z=2\left(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right)

例如,应用这个级数于

z=\frac{11}{9},

得到

\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},

并因此

\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)
=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)
=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots

在这里我们在第一行的总和中提出了因数1/10。

对于任何其他底数β,我们使用

\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}

计算机[编辑]

多数计算机语言把log(x)用做自然对数,而常用对数典型的指示为log10(x)。参数和返回值典型的是浮点数据类型。

因为参数是浮点数,可以有用的做如下考虑:

浮点数值x被表示为尾数m和指数n所形成的

x = m2^n

因此

\ln(x) = \ln(m) + n\ln(2)

所以,替代计算\ln(x),我们计算对某个m\ln(m)使得1 ≤ m ≤ 2。有在这个范围内的m意味着值u = \frac{m - 1}{m+1}总是在范围0 \le u < \frac13内。某些机器使用在范围0.5 \le m < 1内的尾数,并且在这个情况下u的值将在范围-\frac13 < u \le 0内。在任何一种情况下,这个级数都是更容易计算的。

一般化[编辑]

普通的正实数的对数一般化为负数和复数参数,尽管它是多值函数,需要终止在分支点0上的分支切割,来制作一个普通函数或主分支。复数z的(底数e)的对数是复数ln(|z|) + i arg(z),这裡的 |z| 是z,arg(z)是辐角,而i虚单位;详情参见复对数

离散对数是在有限群理论中的相关概念。它涉及到解方程bn = x,这裡的bx是这个群的元素,而n是指定在群运算上的幂。对于某些有限群,据信离散对数是非常难计算的,而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密

矩阵对数矩阵指数的反函数。

对于不等于1的每个正数b,函数logb (x)是从在乘法下的正实数的到在加法下(所有)实数的群的同构。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间哈尔测度

历史[编辑]

由来历史[编辑]

对数方法是苏格兰约翰·纳皮尔男爵(John Napier)1614年在他的著作《奇妙的对数定律说明书》(《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio[9]》)中首次公开提出的。同时Joost Bürgi独立发现了对数,但直到纳皮尔之后4年才发表。这个方法对科学进步有所贡献,特别是对天文学,使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前,它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”,法国著名数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace)曾说:“对数,可以缩短计算时间,在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍。”

对数于17世纪中叶由穆尼格引入中国。17世纪初,薛凤祚的《历学会通》有“比例数表”(1653年,也称“比例对数表”),称真数为“原数”,对数为“比例数”。《数理精蕴》中则称作对数比例:“对数比例乃西士若往·纳白尔所作,以借数与真数对列成表,故名对数表。”此后在中国便都约定俗成,称作对数了。

符号史[编辑]

对数符号log出自拉丁文logarithm,最早由1632年意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri)所使用。纳皮尔在表示对数时套用logarithm整个词,并未作简化。1624年,开普勒才把对数符号简化为Log,奥特雷得在1647年也用简化了的Log。1893年,皮亚诺用logx及Logx分别表示以e为底的对数和以10为底的对数。1902年,施托尔茨等人以alog.b表示以a为底的b的对数。20世纪初,形成了对数的现代表示\log_\alpha\Nu。为了使用方便,人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN

对数表[编辑]

20世纪的常用对数表的一个实例。

在发明计算机计算器之前,使用对数意味着使用对数表,它必须手工建立。

参见[编辑]

  1. 对数恒等式
  2. 自然对数
  3. 常用对数
  4. 离散对数
  5. 芮氏地震规模
  6. 分贝

[编辑]

  1. ^ 一些数学家反对这种表示法。在他的1985年的自传中,保羅·哈爾莫斯批评了这种表示法,称之为“幼稚的表示法”,他说没有一位数学家这么用过。[5] 这种表示法是数学家Irving Stringham发明的。[6][7]
  2. ^ 例如 C语言Java语言Haskell语言BASIC语言

引用[编辑]

  1. ^ Downing, Douglas, Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, N.Y.: Barron's, 2003, ISBN 978-0-7641-1972-9 , chapter 17, p. 275
  2. ^ Wegener, Ingo, Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-3-540-21045-0 , p. 20
  3. ^ B. N. Taylor, Guide for the Use of the International System of Units (SI), US Department of Commerce, 1995 
  4. ^ Gullberg, Jan, Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, 1997, ISBN 978-0-393-04002-9 
  5. ^ Paul Halmos, I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1985, ISBN 978-0-387-96078-4 
  6. ^ Irving Stringham, Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, xiii, 1893 
  7. ^ Roy S. Freedman, Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, 59, 2006, ISBN 978-0-12-370478-8 
  8. ^ Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards (Applied Mathematics Series no.55), June 1964, page 68.
  9. ^ Much of the history of logarithms is derived from The Elements of Logarithms with an Explanation of the Three and Four Place Tables of Logarithmic and Trigonometric Functions, by James Mills Peirce, University Professor of Mathematics in Harvard University, 1873.

外部链接[编辑]